Limit Fungsi Aljabar LANDASAN TEORI

8

BAB II LANDASAN TEORI

A. Limit Fungsi Aljabar

Berikut ini adalah penjelasan materi limit fungsi berdasarkan Purcell 1987: 1. Pendahuluan Limit Perkataan limit dipergunakan dalam bahasa sehari-hari seperti misalnya seseorang berkat, “saya mendekati batas kesabaran saya.” Pemakaian yang demikian mempunyai hubungan dengan kalkulus, tetapi tidak banyak. PEMAHAMAN SECARA INTUISI. Pandang fungsi yang ditentukan oleh rumus = − − Perhatikan bahwa fungsi tersebut tidak terdefinisikan pada x=1 karena di titik ini berbentuk , yang tanpa arti. Tetapi masih dapat menanyakan apa yang terjadi pada bilamana mendekati 1. Dapat dilihat hasil perhitungan beberapa nilai untuk dekat 1, menunjukkan nilai-nilai ini dalam sebuah diagram skematis dan mensketsakan grafik = Kesimpulannya adalah mendekati 3 bilamana mendekati 1. Dalam lambang matematis, ditulis � → − − = . Ini dibaca “limit dari − − untuk � mendekati 1 adalah 3.” Definisi Pengertian limit secara intuisi. Untuk mengatakan bahwa � → = berarti bahwa bilamana dekat tapi berlainan dari , maka dekat ke . LIMIT-LIMIT SEPIHAK. Bilamana suatu fungsi mempunyai lompatan, maka limit tidak ada pada setiap titik lompatan. Untuk fungsi-fungsi yang demikian, adalah wajar untuk memperkenalkan limit-limit sepihak. Andaikan lambang → + berarti bahwa mendekati dari kanan, dan andaikan lambang → − berarti bahwa mendekati dari kiri. Definisi Limit kiri dan limit kanan. Untuk mengatakan bahwa � → = berarti bahwa bilamana dekat tetapi pada sebelah kanan , maka adalah dekat ke . Serupa, untuk mengatakan bahwa � → = berarti bahwa bilamana dekat tetapi pada sebelah kiri , maka adalah dekat ke . Teorema A � → = jika dan hanya jika � → − = dan � → + = Gambar di bawah ini seharusnya memberikan tambahan yang jelas. 2. Pengkajian Mendalam Tentang Limit Berikut definisi yang lebih baik sedikit, tetapi masih tetap tak formal, dengan menyusun kembali susunan kata-kata dari definisi tersebut. Untuk mengatakan bahwa � → = berarti bahwa selisih antara dan dapat dibuat sekecil mungkin dengan mensyaratkan bahwa cukup dekat tetapi tidak sama dengan . MEMBUAT DEFINISI PERSIS. Pertama, ikuti sebuah tradisi panjang dalam memakai huruf yunani epsilon dan delta untuk menggantikan bilangan-bilangan kecil positif. Bayangkan dan sebagai bilangan-bilangan kecil positif. Mengatakan bahwa berbeda dari lebih kecil dari sama saja dengan mengatakan | − | − + Ini berarti bahwa terletak dalam selang terbuka − , + seperti yang diperlihatkan pada grafik di bawah ini. Selanjutnya, ucapan bahwa cukup dekat tetapi berlainan dengan sama saja dengan mengatakan bahwa untuk suatu , terletak dalam dalam selang terbuka − , + dengan tidak diikutkan. Barangkali cara terbaik untuk mengatakan ini adalah dengan menuliskan | − | Perhatikan bahwa | − | akan memberikan selang − + , sedangkan | − | mensyaratkan bahwa = dikecualikan. Selang dengan pengecualian yang diuraikan tersebut diperlihatkan pada gambar di bawah ini. Definisi Pengertian persis tentang limit. Mengatakan bahwa � → = berarti bahwa untuk setiap yang diberikan betapapun kecilnya, terdapat yang berpadanan sedemikian sehingga | − | asalkan bahwa | − | ; yakni, | − | → | − | Gambar-gambar di bawah ini dapat kiranya membantu menyerap definisi ini. LIMIT-LIMIT SATU-PIHAK, tidak memerlukan banyak imajinasi untuk memberikan definisi , atau aturan limit kanan dan limit kiri. Definisi Mengatakan � → = berarti bahwa untuk tiap , terdapat yang berpadanan sedemikian sehingga | − | → | − | 3. Teorema Limit Teorema A Teorema Limit Utama. Andaikan bilangan bulat positif, konstanta, dan dan adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di . Maka a. � → = b. � → = c. � → . = � → d. � → [ + ] = � → + � → e. � → [ − ] = � → − � → f. � → [ × ] = � → × � → g. � → = � → � → , dengan syarat � → ≠ h. � → = � →

i. �

→ √ = √ � → , � � → � �� � Teorema B Teorema Substitusi. Jika suatu fungsi polinom atau fungsi rasional, maka � → = Asalkan dalam kasus fungsi rasional nilai penyebut di tidak nol. BUKTI TEOREMA A FAKULTATIF Bukti pernyataan 1 dan 2 pernyataan ini merupakan hasil dari � → + = + , pertama dengan memakai = dan kemudian = , = . Bukti pernyataan 3 jika = , hasilnya jelas, sehingga kita andaikan ≠ . Andaikan diberikan . Menurut hipotesis, � → ada, sebut nilainya . Menurut definisi limit, terdapat suatu bilangan sedemikan sehingga | − | → | − | | | Sekarang dengan telah ditetapkannya , kita dapat menyatakan bahwa | − | berarti | − | = | || − | | | | | = Ini menunjukkan bahwa � → . = � → Bukti pernyataan 4 Andaikan � → = dan � → = . Jika sebarang bilangan positif yang diberikan, maka adalah positif. Karena � → = , maka terdapat suatu bilangan positif sedemikian sehingga | − | → | − | Karena � → = , terdapat suatu bilangan positif sedemikian sehingga | − | → | − | Pilih = { , }; yaitu pilih sebagai yang terkecil di antara dan . Maka | − | menunjukkan | + − − | = |[ − ] + [ − ]| | − | + | − | + = Dalam rangkaian ini, ketaksamaan yang pertama adalah ketaksamaan segitiga; yang kedua sebagai hasil dari pilihan . Baru saja memperlihatkan bahwa | − | → | + − − | Jadi � → [ + ] = � → + � → Bukti pernyataan 5 � → [ − ] = � → [ + − ] = � → + � → − = � → + − � → = � → − � → TEOREMA APIT Pernahkah mendengar seseorang berkata, “saya terjebak di antara batu dan tempat yang keras?” Inilah yang yang terjadi pada � dalam teorema berikut lihat gambar di bawah ini. Teorema C Teorema Apit Andikan , adalah fungsi-fungsi yang memenuhi untuk semua dekat , kecuali mungkin di . Jika � → = � → = � → =

B. Faktor Penyebab Kesalahan