bermakna sama dengan pecahan
+ +
. Tetapi orang lain akan melihat berbeda, yaitu
+ + . Tentu bentuk ini berbeda dengan
+ +
. Jika akan menuliskan pecahan menggunakan notasi ‘’ sebaiknya diberikan tanda kurung untuk pembilang
dan penyebutnya. Pecahan yang dimaksud ditulis menjadi bentuk a+bc+d.
3. Kesalahan-Kesalahan yang Sering dilakukan Siswa dalam
Menyelesaikan Soal-Soal Limit Fungsi Aljabar
Pratini 1991;55-67
mengklarifikasi kesalahan
dalam mengerjakan soal Limit Fungsi Aljabar sebagai berikut:
a. Kesalahan dalam menghitung nilai limit fungsi konstan untuk
sembarang titik limit Kesalahan terdiri dari 3 macam:
1 Nilai limit fungsi konstan dianggap sama dengan titik limit itu
sendiri. Contoh:
i. �
→
= ii.
�
→∞
= ∞ 2
Nilai limit fungsi konstan dianggap sama dengan hasil kali nilai fungsi konstan dengan titik limitnya.
Contoh: i.
�
→
= . =
ii. �
→∞
= . ∞ = ∞ 3
Nilai limit fungsi konstan dianggap sama dengan jumlah nilai fungsi konstan dengan titik limitnya.
Contoh: i.
�
→
= + = ii.
�
→−
= + − =
− = iii.
�
→−
− = −
+ − = − b.
Kesalahan dalam menghitung nilai limit fungsi monomial �
�
, = 1 untuk titik limit tak berhingga.
Kesalahan terdiri dari 2 macam: 1
Nilai limit fungsi monomial �
�
, = 1 dianggap sama dengan hasil kali nilai fungsi tersebut dengan titik limitnya.
Contoh: i.
�
→∞
= � . ∞ = ∞
ii. �
→−∞
= � . −∞ = −∞
iii. �
→∞
− = � −
. ∞ = −∞ 2
Nilai limit fungsi monomial �
�
, = 1 dianggap sama dengan hasil bagi fungsi tersebut dengan variabel fungsi.
Contoh: i.
�
→∞
= = �
→∞
= ii.
�
→−∞
= �
→∞
=
c. Kesalahan dalam menghitung nilai limit fungsi pecah untuk titik
limit tak berhingga. Kesalahan yang dilakukan dengan membagi setiap suku
pada pembilang dan penyebut dengan variabel berpangkat tertinggi kemudian mensubstitusikan titik limit ke variabel fungsi dan
memberikan tak berhingga sebagai hasilnya. Contoh:
1 �
→∞ +
−
= �
→∞ +
−
= �
→∞
∞
+
∞
−
= ∞
2 �
→∞ − +
+ −
= �
→∞ − +
+ −
= �
→∞ − +
+ −
= �
→∞ −
∞
+
∞
+
∞
−
∞
= ∞
d. Kesalahan dalam menghitung nilai limit fungsi pecah untuk
sembarang titik limit. Kesalahan yang dilakukan siswa dengan mensubsitusikan
titik limit ke variabel fungsi padahal dengan substitusi tersebut mengakibatkan terjadinya bentuk tak tentu
∞ ∞
. Contoh:
1 �
→∞ +
−
= �
→∞ + .∞
− .∞
=
∞ ∞
= ∞
2 �
→∞ − +
+ −
= �
→∞ − +
+ −
= �
→∞ − +
−
=
−∞+ ∞−
= ∞
3 �
→ −
−
= �
−
=
−
= =
4 �
→ +
−
= �
. + . −
= =
e. Kesalahan dalam menghitung nilai limit fungsi pecah untuk titik
limit bilangan tertentu. Kesalahan yang dilakukan siswa dengan menyederhanakan
secara salah, kemudia mensubstitusikan titik limit ke variabel fungsi.
Ada 2 macam kesalahan, yaitu: 1
Membagi pembilang dan penyebut dengan variabel yang sama tetapi ada suku pada pembilang atau penyebut yang tidak dibagi
dengan variabel tersebut. Contoh:
i. �
→− −
+
=
− +
=
−
=
−
=
−
ii. �
→ −
+
=
− +
=
−
=
. −
=
−
=
iii. �
→ −
−
=
− −
=
− −
=
− . −
=
− −
2 Membagi setiap suku pada pembilang dan penyebut dengan
variabel berpangkat tertinggi padahal titik limitnya berhingga. Contoh:
i. �
→ +
−
= �
→ +
−
= �
→ +
−
= �
→
+ −
= �
→
= . =
ii. �
→ −
+
= �
→ −
+
= �
→ −
−
= �
→ −
−
=
�
→ −
−
= −
− = −
− = f.
Kesalahan dalam menghitung nilai limit fungsi rasional untuk titik limit tak berhingga.
Kesalahan yang dilakukan siswa dengan mensubstitukan titik limit ke variabel fungsi, tetapi kemudian menganggap tak
berhingga sama dengan nol. Contoh:
1 �
→∞
= . ∞ = . = 2
�
→−∞
= −∞ = . = Berikut ini adalah contoh kategori kesalahan dalam mengerjakan
soal Limit Fungsi Aljabar. Tabel 2.1 Contoh kategori jenis kesalahan dalam mengerjakan soal-soal
Limit Fungsi Aljabar.
No Jenis Kesalahan
Contoh kesalahan 1.
Penyalahgunaan Data a.
Menambahkan data yang tidak ada hubungannya dengan soal.
b. Mengabaikan data penting yang
sudah ada dan menggantinya
dengan data yang tidak relevan. c.
Menguraikan syarat-syarat dalam pembuktian,
perhitungan, penemuan yang sebenarnya tidak
dikehendaki soal. d.
Mengartikan sebagian informasi tidak sesuai dengan teks yang
sebenarnya. e.
Menggunakan syarat yang tidak sesuai dengan informasi yang
diberikan. Soal: tentukan nilai limit berikut.
�
→
Akan tetapi siswa menuliskan soal seperti berikut:
�
→
Kategori kesalahan: Mengartikan sebagian informasi tidak sesuai
dengan teks yang sebenarnya.
No Jenis Kesalahan
Contoh kesalahan f.
Menggunakan angka pengganti suatu variabel untuk variabel yang
lain. g.
Kesalahan menyalin soal dari lembar soal ke lembar jawab.
2. Kesalahan menginterpretasikan data
a. Menerjemahkan pernyataan dalam
bahasa sehari-hari ke dalam bahasa atau persamaan matematika dengan
arti yang berbeda. b.
Menuliskan simbol dari suatu konsep dengan simbol lain yang artinya
berbeda. c.
Kesalahan mengartikan grafik. -
3. Kesalahan menggunakan logika dalam
menarik kesimpulan a.
Mengambil kesimpulan tidak benar, misalnya memberikan q sebagai
akibat dari
p tanpa
dapat menjelaskan
urutan pembuktian
yang betul. Soal : tentukan nilai limit berikut.
�
→
− = Kategori : siswa mengambil kesimpulan
yang tidak benar dan tidak dapat menjelaskan urutan pembuktian yang betul.
4. Kesalahan menggunakan definisi atau
teorema a.
Menerapkan suatu teorema pada kondisi yang tidak sesuai.
b. Menerapkan sifat distributif untuk
fungsi atau operasi yang bukan distributif.
c. Tidak teliti atau tidak tepat dalam
mengutip definisi, rumus, atau teorema.
Soal : tentukan nilai limit berikut. �
→
+ = �
→
+ Kategori :
Menerapkan sifat distributif untuk fungsi atau operasi yang bukan distributif.
5. Penyelesaian tidak diperiksa kembali
Soal: tentukan nilai limit berikut. �
→
+ −
= �
→
+ . − = + . − =
15. Kesalahan yang dilakukan siswa dalam
penggunaan tanda kurungAshlock Soal: tentukan nilai limit berikut.
�
→
= �
→
Siswa salah mengubah menjadi
. 16.
Kesalahan tanda Schechter -
17. Kesalahan karena siswa memahami
semua operasi adalah adititive seperti yang berlaku pada sifat suatu fungsi atau
operasi . Schechter Soal : tentukan nilai limit berikut.
�
→
+ = �
→
+ Siswa salah dalam mengubah
+ menjadi
+ 18.
Kesalahan dalam menggunakan sifat komutatif.
Soal : tentukan nilai limit berikut. �
→
√ − = �
→
√ − Siswa salah dalam mengubah
√ − menjadi
√ − 19.
Kesalahan dengan
menghilangkanmenghapus variabel Soal : tentukan nilai limit berikut.
�
→
+ −
+ +
+ +
= �
→
− +
+ +
No Jenis Kesalahan
Contoh kesalahan Siswa salah dalam menghapus
+ 20.
Kesalahan yang berhubungan dengan sifat fungsi Scofield
Contoh kesalahan sama dengan contoh kesalahan nomor 4.
21. Kesalahan dalam menghapuskan variabel
dan koefisien saat menyederhanakan pecahan bentuk aljabar
Contoh kesalahan sama dengan contoh kesalahan nomor 19
22. Kesalahan pada perkalian bentuk aljabar
dengan mengabaikan sifat pemangkatan Soal : tentukan nilai limit berikut.
�
→
√ = �
→
Siswa salah dalam mengubah √ menjadi
. 23.
Kesalahan dengan menuliskan perkalian tanpa tanda kurung
Contoh kesalahan sama dengan contoh kesalahan nomor 5
24. Kesalahan karena penggunaan tanda
kurung berlebihan -
25. Kesalahan dalam pembagian dengan
bilangan nol Dawkins Soal : tentukan nilai limit berikut.
�
→
= = 26.
Kesalahan dalam penggunaan tanda kurung
Contoh kesalahan sama dengan contoh kesalahan nomor 15
27. Kesalahan dalam mendistribusikan
Soal : tentukan nilai limit berikut. �
→−
= − = − −
− = − 28.
Kesalahan dalam
mengasumsikan penjumlahan
- 29.
Kesalahan dalam mengerjakan soal dengan
menghilangkanmenghapus variabel, koefisien, atau konstanta
Contoh kesalahan sama dengan contoh kesalahan nomor 19
30. Kesalahan dalam menggunakan notasi
pecahan -
31. Kesalahan dalam menghitung nilai limit
fungsi konstan untuk sembarang titik limit haniek
a. Nilai limit fungsi konstan dianggap
sama dengan titik limit itu sendiri. b.
Nilai limit fungsi konstan dianggap sama dengan hasil kali nilai fungsi
konstan dengan titik limitnya. c.
Nilai limit fungsi konstan dianggap sama dengan jumlah nilai fungsi
konstan dengan titik limitnya. Contoh kesalahan :
�
→
= �
→∞
= ∞
32. Kesalahan dalam menghitung nilai limit
fungsi monom berpangkat satu untuk titik limit tak berhingga
a. Nilai limit fungsi monom berpangkat
satu dianggap sama dengan hasil kali nilai fungsi tersebut dengan titik
limitnya. b.
Nilai limit fungsi monom berpangkat satu dianggap sama dengan hasil
bagi fungsi tersebut dengan variabel fungsi.
Contoh kesalahan : �
→∞
= � . ∞ = ∞
�
→−∞
= � . −∞ = −∞
�
→∞
− = � −
. ∞ = −∞
No Jenis Kesalahan
Contoh kesalahan 33.
Kesalahan dalam menghitung nilai limit fungsi pecah untuk titik limit tak
berhingga Contoh kesalahan :
�
→∞
− + + −
= �
→∞
− +
+ −
= �
→∞
− + + −
= �
→∞
− ∞ + ∞ + ∞ − ∞
= ∞ 34.
Kesalahan dalam menghitung nilai limit fungsi pecah untuk sembarang titik limit
Contoh kesalahan : �
→∞
− + + − = �
→∞
− + + −
= �
→∞
− + −
= −∞ +
∞ − = ∞
35. Kesalahan dalam menghitung nilai limit
fungsi pecah untuk titik limit bilangan tertentu
a. Membagi pembilang dan penyebut
dengan variabel yang sama tetapi ada suku pada pembilang atau penyebut
yang tidak dibagi dengan variabel tersebut.
b. Membagi
setiap suku
pada pembilang dan penyebut dengan
variabel berpangkat tertinggi padahal titik limitnya berhingga.
Contoh kesalahan : �
→
− +
= −
+ =
− =
. − =
− =
36. Kesalahan dalam menghitung nilai limit
fungsi rasional untuk titik limit tak berhingga
Contoh kesalahan : �
→−∞
= −∞ = . =
E. Keabsahan Data
Instrumen yang digunakan dalam penelitian ini adalah tes diagnostik yang memuat soal-soal Limit Fungsi Aljabar. Peneliti menggunakan teknik
triangulasi untuk mendapatkan data yang lebih objektif dan dapat dipercaya. Triangulasi adalah teknik pemeriksaan keabsahan data yang memanfaatkan
