LAMPIRAN A PEMBUKTIAN PERSAMAAN
I.1 Pembuktian Persamaan Dalam Bab II
1 Pembuktian pers.II.10 Dengan mengalikan
c pada pers.II.8 dan dengan menggunakan pers.II.9 akan di buktikan
c∆t
′ 2
− ∆~r
′2
= c∆t
2
− ∆~r
2
c∆t
′ 2
= c
2
Γ
2
∆
2
− Γ
2
∆t~ V
· ∆~r + Γ
2
c
2
~ V
· ∆~r
2
A.1
dan ∆~r
′ 2
=∆~r + Γ − 1∆~r · ~
V ~
V V
2
− Γ ~ V
∆t ·
∆~r + Γ − 1∆~r · ~
V ~
V V
2
− Γ ~ V
∆t =∆~r
2
+ Γ − 1
2
∆~r · ~
V
2
V
2
~ V
· ~ V
V
2
+ Γ ~ V
∆t
2
+ 2[∆~r · Γ − 1
∆~r · ~
V V
2
~ V
+ ∆~r · Γ ~
V ∆t+
Γ − 1
∆~r · ~
V V
2
~ V
· ~ V
Γ∆t] =∆~r
2
+ Γ − 1
2
∆~r · ~
V
2
V
2
+ Γ
2
~ V
2
∆t
2
+ 2[Γ − 1
∆~r · ~
V V
2
+ ∆~r · ~
V Γ∆t1+Γ
− 1] =∆~r
2
+ Γ − 1
2
+ 2Γ − 1
∆~r · ~
V
2
V
2
+ Γ
2
~ V
∆t
2
− 2∆~r · ~V Γ
2
∆t =∆~r
2
+ Γ
2
− 1 ∆~r
· ~ V
2
V
2
+ Γ
2
~ V
∆t
2
− 2∆~r · ~V Γ
2
∆t A.2
112
113
Dengan pers.A.1 dan A.2 maka c∆t
′ 2
− ∆~r
′2
=c
2
Γ
2
∆t
2
− Γ
2
∆t~ V
· ∆~r + Γ
2
c
2
~ V
· ∆~r
2
− ∆~r
2
+ Γ
2
− 1 ∆~r
· ~ V
2
V
2
+ Γ
2
~ V
2
∆t
2
− 2∆~r · ~V Γ
2
∆t =c
2
Γ
2
∆t
2
− Γ
2
~ V
2
∆t
2
+ Γ
2
c
2
− Γ
2
− 1 V
2
~ V
· ∆~r
2
=Γ
2
c
2
− ~ V
2
∆t
2
− ∆~r
2
=c∆t
2
− ∆~r
2
A.3
I.2 Pembuktian Persamaan Dalam Bab V
1 Pembuktian pers.V.4 Dengan menggunakan pers.V.1 dan pers.V.3 maka kuaternion anti-Hermitian
qiq
†
diberikan oleh qiq
†
= a + ia
1
+ ja
2
+ ka
3
ia − ia
1
− ja
2
− ka
3
= ia − a
1
− ka
2
+ ja
3
a − ia
1
− ja
2
− ka
3
= ia
2
+ a
2 1
− a
2 2
− a
2 3
+ j2a a
3
+ 2a
1
a
2
+ k2a
1
a
3
− 2a a
2
= ia
2
+ a
2 1
− a
2 2
+ a
2 3
+ j2a a
3
+ a
1
a
2
+ k2a
1
a
3
− a a
2
≡ ix + jy + kz A.4
114
sehingga diperoleh x = a
2
+ a
2 1
− a
2 2
+ a
3 3
, y = 2a
a
3
+ a
1
a
2
, z = 2a
1
a
3
− a a
2
. QED A.5
Dengan definisi-definisi pada pers.V.3 dapat diperoleh y = iζξ
∗
− ζ
∗
ξ, z =
−ζξ
∗
+ ζ
∗
ξ. A.6
2 Pembuktian persamaan V.11 Dengan menggunakan pers.V.10
˜ q = [A + jB]ξ + jζ
˜ ξ + j ˜
ζ = A + jBξ + jζ ˜
ξ + j ˜ ζ = Aξ + jBξ + Ajζ + jBjζ
˜ ξ + j ˜
ζ = Aξ + jBξ + jA
∗
ζ − B
∗
ζ ˜
ξ + j ˜ ζ = Aξ
− B
∗
ζ + jBξ + A
∗
ζ, A.7
sehingga diperoleh ˜
ξ = Aξ − B
∗
ζ, ˜
ζ = Bξ + A
∗
ζ. QED A.8
115
3 Pembuktian pers.V.12 Seperti dalam pers.V.3, maka
˜ x =
|˜ ξ
|
2
− |˜ζ|
2
= ˜ ξ ˜
ξ
∗
− ˜ζ˜ζ
∗
= Aξ − B
∗
ζA
∗
ξ
∗
− Bζ
∗
− Bξ + A
∗
ζξ
∗
B
∗
+ ζ
∗
A =
|A|
2
|ξ|
2
| + B|
2
|ζ|
2
− ABξζ
∗
− A
∗
B
∗
ξ
∗
ζ − |B|
2
|ξ|
2
| + |A|
2
|ζ|
2
+ ABξζ
∗
+ A
∗
B
∗
ξ
∗
ζ =
|A|
2
− |B|
2
|ξ|
2
− |ζ|
2
+ −AB + A
∗
B
∗
ξ
∗
ζ + ξζ
∗
− iAB − A
∗
B
∗
iξ
∗
ζ − ξζ
∗
= |A|
2
− |B|
2
x − iAB − A
∗
B
∗
y + AB + A
∗
B
∗
z QED
A.9
˜ y
− i˜z = 2i˜ζ˜ ξ
∗
= 2iBξ + A
∗
ζA
∗
ξ
∗
− Bζ
∗
= 2iBξA
∗
ξ
∗
− B
2
ξζ
∗
+ A
∗2
ζξ
∗
− A
∗
Bζζ
∗
= 2iBA
∗
|ξ|
2
− A
∗
B |ζ|
2
− B
2
ξζ
∗
+ A
∗2
ζξ
∗
= 2iBA
∗
|ξ|
2
− |ζ|
2
+ A
∗2
2iζξ
∗
− B
2
2iξζ
∗
= 2iBA
∗
x + y − izA
∗2
+ y + izB
2
QED A.10
116
4 Pembuktian pers.V.16 Persamaan transformasi rotasi mengelilingi sumbu
x sebesar θ
x
dapat diny- atakan dengan
x
′
= x y
′
= ycosθ
x
− zsinθ
x
z
′
= ysinθ
x
+ zcosθ
x
, A.11
sedangkan suatu kuaternion anti-Hermitan tertransformasi oleh u
∈ U1, H
L
menurut pers.V.7, sehingga uqiq
†
u
†
= i˜ x + j ˜
y + k˜ z
= i |˜
ξ |
2
− |˜ζ|
2
+ ji ˜ ξ
∗
˜ ζ
− ˜ ξ ˜
ζ
∗
+ k −˜
ξ
∗
˜ ζ + ˜
ξ ˜ ζ
∗
. A.12
Dengan menyamakan pers.A.11 dan A.12 dan dengan menggunakan pers.V.12 maka syarat yang pertama yang harus dipenuhi oleh
A dan B dinyatakan dalam pers.V.13 yang menghasilkan
|A| = AA
∗
= 1 dan B = 0, sehingga
˜ y
− i˜z = A
∗2
y − iz = ycosθ
x
− zsinθ
x
− iysinθ
x
+ zcosθ
x
A
∗2
y − iz = ycosθ
x
− iysinθ
x
− zsinθ
x
+ icosθ
x
A
∗2
y − iz = ycosθ
x
− isinθ
x
− izcosθ
x
− isinθ
x
A
∗2
y − iz = cosθ
x
− isinθ
x
y − iz
A.13
117
maka, diperoleh A
∗2
= e
−iθ
x
A
∗
= e
−
i 2
θ
x
A = e
i 2
θ
x
. A.14
Sehingga u = A + jB = e
i 2
θ
x
= cos
θ
x
2
+ isin
θ
x
2
QED 5 Pembuktian persamaan bab.5.1.20
Persamaan transformasi rotasi mengelilingi sumbu y sebesar θ
y
dapat diny- atakan dengan
x
′
= xcosθ
y
+ zsinθ
y
y
′
= y z
′
= −xsinθ
y
+ zcosθ
y
, A.15
Dengan menyamakan pers.A.15 dan A.12 dan dengan menggunakan pers.V.12 maka syarat yang pertama yang harus dipenuhi oleh
A dan B dinyatakan dalam pers.V.17 yang mengharuskan
A, B ∈ R sehingga
˜ x = A
2
− B
2
x + 2ABz = xcosθ
y
+ zsinθ
y
˜ z =
−2ABx + A
2
− B
2
z = xsinθ
y
+ zcosθ
y
. A.16
sehingga A
2
− B
2
= cosθ
y
, 2AB = sinθ
y
, A.17
maka diperoleh A = cos
1 2
θ
y
dan B = sin
1 2
θ
y
. Sehingga u = A + jB =
e
j 2
θ
y
= cos
1 2
θ
y
+ jsin
1 2
θ
y
QED
118
6 Pembuktian persamaan bab.5.1.25 Persamaan transformasi rotasi mengelilingi sumbu
z sebesar θ
z
dapat diny- atakan dengan
x
′
= xcosθ
z
− ysinθ
z
y
′
= xsinθ
z
+ ycosθ
z
z
′
= z. A.18
Dengan menyamakan pers.A.18 dan A.12 dan dengan menggunakan pers.V.12 maka syarat yang pertama yang harus dipenuhi oleh
A dan B dinyatakan dalam pers.V.21 yang mengharuskan
Re A 6= 0 dan Re B =
0. sehingga ˜
x = A
2
− |B|
2
x − i2ABy = xcosθ
z
− ysinθ
z
˜ y = 2iA
∗
Bx + A
∗2
+ B
2
y = 2iABx + A
2
− |B|
2
y = xsinθ
z
+ ycosθ
z
A.19
sehingga A
2
− |B|
2
= cosθ
z
, 2iAB = sinθ
z
, A.20
maka diperoleh A = cos
1 2
θ
z
dan B =
−isin
1 2
θ
z
. Sehingga
u = A + jB = e
k 2
θ
z
= cos
1 2
θ
z
+ j −isin
1 2
θ
z
= cos
1 2
θ
z
+ ksin
1 2
θ
z
QED 7 Berikut akan dibuktikan bahwa
S
02
dan S
03
pada pers.V.43 dan bab.5.2.13 merupakan operator transformasi boost masing-masing sepanjang sumbu
y dan z pada grup SL1, H
L
⊗ C
R
. Dengan menggunakan pers.V.43,
119
pers.V.30 tertransformasi menjadi ˜
q1 + i˜ q
†
= q cosh ϕ
y
2 + jqi sinh
ϕ
y
2 1 + iq
†
cosh ϕ
y
2 + iq
†
j sin ϕ
x
2 = qq
†
+ qiq
†
cosh
2
ϕ
y
2 − jqq
†
j + jqiq
†
j sinh
2
ϕ
y
2 + qiq
†
j + jqiq
†
− qq
†
j − jqq
†
cosh ϕ
y
2 sinh
ϕ
y
2 = ct + ix + jy + kzcosh
2
ϕ
y
2 − −ct + ix − jy + kz sinh
2
ϕ
y
2 − 2y + kctcosh
ϕ
y
2 sinh
ϕ
y
2 = ct + jycosh
2
ϕ
y
2 + ct + jysinh
2
ϕ
y
2 + ix + kzcosh
2
ϕ
y
2 − ix + kzsinh
2
ϕ
y
2 − y + jctsinhϕ
y
= ct + jycosh
2
ϕ
y
2 + sinh
2
ϕ
y
2 + ix + kzcosh
2
ϕ
y
2 − sinh
2
ϕ
y
2 − y + jctsinhϕ
y
= ct + jycoshϕ
y
+ ix + kz − y + jctsinhϕ
y
= ctcoshϕ
y
− ysinhϕ
y
+ ix + jycoshϕ
y
− ctsinhϕ
y
+ kz A.21
Persamaan ini merupakan persamaan transformasi boost sepanjang sumbu y. Sedangkan persamaan transformasi boost sepanjang sumbu z diberikan
dengan mengenakan pers.V.43 pada pers.V.30 yaitu ˜
q1 + i˜ q
†
= q cosh ϕ
z
2 + kqi sinh
ϕ
z
2 1 + iq
†
cosh ϕ
z
2 + iq
†
k sin ϕ
z
2 = qq
†
+ qiq
†
cosh
2
ϕ
z
2 − kqq
†
k + kqiq
†
k sinh
2
ϕ
z
2 + qiq
†
k + kqiq
†
− qq
†
k − kqq
†
cosh ϕ
z
2 sinh
ϕ
z
2 A.22
120
˜ q1 + i˜
q
†
= ct + ix + jy + kzcosh
2
ϕ
z
2 − −ct + ix + jy − kz sinh
2
ϕ
z
2 − 2z + kctcosh
ϕ
z
2 sinh
ϕ
z
2 = ct + kzcosh
2
ϕ
z
2 + ct + kzsinh
2
ϕ
z
2 + ix + jycosh
2
ϕ
z
2 − ix + jysinh
2
ϕ
z
2 − z + kctsinhϕ
z
= ct + kzcosh
2
ϕ
z
2 + sinh
2
ϕ
z
2 + ix + jycosh
2
ϕ
z
2 − sinh
2
ϕ
z
2 − z + kctsinhϕ
z
= ct + kzcoshϕ
z
+ ix + jy − z + kctsinhϕ
z
= ctcoshϕ
z
− zsinhϕ
z
+ ix + jy + kzcoshϕ
z
− ctsinhϕ
z
. A.23
LAMPIRAN B Hubungan
SU 2 dan SO3
II.1 Grup SO3