Pembuktian Persamaan Dalam Bab II Pembuktian Persamaan Dalam Bab V

LAMPIRAN A PEMBUKTIAN PERSAMAAN

I.1 Pembuktian Persamaan Dalam Bab II

1 Pembuktian pers.II.10 Dengan mengalikan c pada pers.II.8 dan dengan menggunakan pers.II.9 akan di buktikan c∆t ′ 2 − ∆~r ′2 = c∆t 2 − ∆~r 2 c∆t ′ 2 = c 2 Γ 2 ∆ 2 − Γ 2 ∆t~ V · ∆~r + Γ 2 c 2 ~ V · ∆~r 2 A.1 dan ∆~r ′ 2 =∆~r + Γ − 1∆~r · ~ V ~ V V 2 − Γ ~ V ∆t · ∆~r + Γ − 1∆~r · ~ V ~ V V 2 − Γ ~ V ∆t =∆~r 2 + Γ − 1 2 ∆~r · ~ V 2 V 2 ~ V · ~ V V 2 + Γ ~ V ∆t 2 + 2[∆~r · Γ − 1 ∆~r · ~ V V 2 ~ V + ∆~r · Γ ~ V ∆t+ Γ − 1 ∆~r · ~ V V 2 ~ V · ~ V Γ∆t] =∆~r 2 + Γ − 1 2 ∆~r · ~ V 2 V 2 + Γ 2 ~ V 2 ∆t 2 + 2[Γ − 1 ∆~r · ~ V V 2 + ∆~r · ~ V Γ∆t1+Γ − 1] =∆~r 2 + Γ − 1 2 + 2Γ − 1 ∆~r · ~ V 2 V 2 + Γ 2 ~ V ∆t 2 − 2∆~r · ~V Γ 2 ∆t =∆~r 2 + Γ 2 − 1 ∆~r · ~ V 2 V 2 + Γ 2 ~ V ∆t 2 − 2∆~r · ~V Γ 2 ∆t A.2 112 113 Dengan pers.A.1 dan A.2 maka c∆t ′ 2 − ∆~r ′2 =c 2 Γ 2 ∆t 2 − Γ 2 ∆t~ V · ∆~r + Γ 2 c 2 ~ V · ∆~r 2 − ∆~r 2 + Γ 2 − 1 ∆~r · ~ V 2 V 2 + Γ 2 ~ V 2 ∆t 2 − 2∆~r · ~V Γ 2 ∆t =c 2 Γ 2 ∆t 2 − Γ 2 ~ V 2 ∆t 2 + Γ 2 c 2 − Γ 2 − 1 V 2 ~ V · ∆~r 2 =Γ 2 c 2 − ~ V 2 ∆t 2 − ∆~r 2 =c∆t 2 − ∆~r 2 A.3

I.2 Pembuktian Persamaan Dalam Bab V

1 Pembuktian pers.V.4 Dengan menggunakan pers.V.1 dan pers.V.3 maka kuaternion anti-Hermitian qiq † diberikan oleh qiq † = a + ia 1 + ja 2 + ka 3 ia − ia 1 − ja 2 − ka 3 = ia − a 1 − ka 2 + ja 3 a − ia 1 − ja 2 − ka 3 = ia 2 + a 2 1 − a 2 2 − a 2 3 + j2a a 3 + 2a 1 a 2 + k2a 1 a 3 − 2a a 2 = ia 2 + a 2 1 − a 2 2 + a 2 3 + j2a a 3 + a 1 a 2 + k2a 1 a 3 − a a 2 ≡ ix + jy + kz A.4 114 sehingga diperoleh x = a 2 + a 2 1 − a 2 2 + a 3 3 , y = 2a a 3 + a 1 a 2 , z = 2a 1 a 3 − a a 2 . QED A.5 Dengan definisi-definisi pada pers.V.3 dapat diperoleh y = iζξ ∗ − ζ ∗ ξ, z = −ζξ ∗ + ζ ∗ ξ. A.6 2 Pembuktian persamaan V.11 Dengan menggunakan pers.V.10 ˜ q = [A + jB]ξ + jζ ˜ ξ + j ˜ ζ = A + jBξ + jζ ˜ ξ + j ˜ ζ = Aξ + jBξ + Ajζ + jBjζ ˜ ξ + j ˜ ζ = Aξ + jBξ + jA ∗ ζ − B ∗ ζ ˜ ξ + j ˜ ζ = Aξ − B ∗ ζ + jBξ + A ∗ ζ, A.7 sehingga diperoleh ˜ ξ = Aξ − B ∗ ζ, ˜ ζ = Bξ + A ∗ ζ. QED A.8 115 3 Pembuktian pers.V.12 Seperti dalam pers.V.3, maka ˜ x = |˜ ξ | 2 − |˜ζ| 2 = ˜ ξ ˜ ξ ∗ − ˜ζ˜ζ ∗ = Aξ − B ∗ ζA ∗ ξ ∗ − Bζ ∗ − Bξ + A ∗ ζξ ∗ B ∗ + ζ ∗ A = |A| 2 |ξ| 2 | + B| 2 |ζ| 2 − ABξζ ∗ − A ∗ B ∗ ξ ∗ ζ − |B| 2 |ξ| 2 | + |A| 2 |ζ| 2 + ABξζ ∗ + A ∗ B ∗ ξ ∗ ζ = |A| 2 − |B| 2 |ξ| 2 − |ζ| 2 + −AB + A ∗ B ∗ ξ ∗ ζ + ξζ ∗ − iAB − A ∗ B ∗ iξ ∗ ζ − ξζ ∗ = |A| 2 − |B| 2 x − iAB − A ∗ B ∗ y + AB + A ∗ B ∗ z QED A.9 ˜ y − i˜z = 2i˜ζ˜ ξ ∗ = 2iBξ + A ∗ ζA ∗ ξ ∗ − Bζ ∗ = 2iBξA ∗ ξ ∗ − B 2 ξζ ∗ + A ∗2 ζξ ∗ − A ∗ Bζζ ∗ = 2iBA ∗ |ξ| 2 − A ∗ B |ζ| 2 − B 2 ξζ ∗ + A ∗2 ζξ ∗ = 2iBA ∗ |ξ| 2 − |ζ| 2 + A ∗2 2iζξ ∗ − B 2 2iξζ ∗ = 2iBA ∗ x + y − izA ∗2 + y + izB 2 QED A.10 116 4 Pembuktian pers.V.16 Persamaan transformasi rotasi mengelilingi sumbu x sebesar θ x dapat diny- atakan dengan x ′ = x y ′ = ycosθ x − zsinθ x z ′ = ysinθ x + zcosθ x , A.11 sedangkan suatu kuaternion anti-Hermitan tertransformasi oleh u ∈ U1, H L menurut pers.V.7, sehingga uqiq † u † = i˜ x + j ˜ y + k˜ z = i |˜ ξ | 2 − |˜ζ| 2 + ji ˜ ξ ∗ ˜ ζ − ˜ ξ ˜ ζ ∗ + k −˜ ξ ∗ ˜ ζ + ˜ ξ ˜ ζ ∗ . A.12 Dengan menyamakan pers.A.11 dan A.12 dan dengan menggunakan pers.V.12 maka syarat yang pertama yang harus dipenuhi oleh A dan B dinyatakan dalam pers.V.13 yang menghasilkan |A| = AA ∗ = 1 dan B = 0, sehingga ˜ y − i˜z = A ∗2 y − iz = ycosθ x − zsinθ x − iysinθ x + zcosθ x A ∗2 y − iz = ycosθ x − iysinθ x − zsinθ x + icosθ x A ∗2 y − iz = ycosθ x − isinθ x − izcosθ x − isinθ x A ∗2 y − iz = cosθ x − isinθ x y − iz A.13 117 maka, diperoleh A ∗2 = e −iθ x A ∗ = e − i 2 θ x A = e i 2 θ x . A.14 Sehingga u = A + jB = e i 2 θ x = cos θ x 2 + isin θ x 2 QED 5 Pembuktian persamaan bab.5.1.20 Persamaan transformasi rotasi mengelilingi sumbu y sebesar θ y dapat diny- atakan dengan x ′ = xcosθ y + zsinθ y y ′ = y z ′ = −xsinθ y + zcosθ y , A.15 Dengan menyamakan pers.A.15 dan A.12 dan dengan menggunakan pers.V.12 maka syarat yang pertama yang harus dipenuhi oleh A dan B dinyatakan dalam pers.V.17 yang mengharuskan A, B ∈ R sehingga ˜ x = A 2 − B 2 x + 2ABz = xcosθ y + zsinθ y ˜ z = −2ABx + A 2 − B 2 z = xsinθ y + zcosθ y . A.16 sehingga A 2 − B 2 = cosθ y , 2AB = sinθ y , A.17 maka diperoleh A = cos 1 2 θ y dan B = sin 1 2 θ y . Sehingga u = A + jB = e j 2 θ y = cos 1 2 θ y + jsin 1 2 θ y QED 118 6 Pembuktian persamaan bab.5.1.25 Persamaan transformasi rotasi mengelilingi sumbu z sebesar θ z dapat diny- atakan dengan x ′ = xcosθ z − ysinθ z y ′ = xsinθ z + ycosθ z z ′ = z. A.18 Dengan menyamakan pers.A.18 dan A.12 dan dengan menggunakan pers.V.12 maka syarat yang pertama yang harus dipenuhi oleh A dan B dinyatakan dalam pers.V.21 yang mengharuskan Re A 6= 0 dan Re B = 0. sehingga ˜ x = A 2 − |B| 2 x − i2ABy = xcosθ z − ysinθ z ˜ y = 2iA ∗ Bx + A ∗2 + B 2 y = 2iABx + A 2 − |B| 2 y = xsinθ z + ycosθ z A.19 sehingga A 2 − |B| 2 = cosθ z , 2iAB = sinθ z , A.20 maka diperoleh A = cos 1 2 θ z dan B = −isin 1 2 θ z . Sehingga u = A + jB = e k 2 θ z = cos 1 2 θ z + j −isin 1 2 θ z = cos 1 2 θ z + ksin 1 2 θ z QED 7 Berikut akan dibuktikan bahwa S 02 dan S 03 pada pers.V.43 dan bab.5.2.13 merupakan operator transformasi boost masing-masing sepanjang sumbu y dan z pada grup SL1, H L ⊗ C R . Dengan menggunakan pers.V.43, 119 pers.V.30 tertransformasi menjadi ˜ q1 + i˜ q † = q cosh ϕ y 2 + jqi sinh ϕ y 2 1 + iq † cosh ϕ y 2 + iq † j sin ϕ x 2 = qq † + qiq † cosh 2 ϕ y 2 − jqq † j + jqiq † j sinh 2 ϕ y 2 + qiq † j + jqiq † − qq † j − jqq † cosh ϕ y 2 sinh ϕ y 2 = ct + ix + jy + kzcosh 2 ϕ y 2 − −ct + ix − jy + kz sinh 2 ϕ y 2 − 2y + kctcosh ϕ y 2 sinh ϕ y 2 = ct + jycosh 2 ϕ y 2 + ct + jysinh 2 ϕ y 2 + ix + kzcosh 2 ϕ y 2 − ix + kzsinh 2 ϕ y 2 − y + jctsinhϕ y = ct + jycosh 2 ϕ y 2 + sinh 2 ϕ y 2 + ix + kzcosh 2 ϕ y 2 − sinh 2 ϕ y 2 − y + jctsinhϕ y = ct + jycoshϕ y + ix + kz − y + jctsinhϕ y = ctcoshϕ y − ysinhϕ y + ix + jycoshϕ y − ctsinhϕ y + kz A.21 Persamaan ini merupakan persamaan transformasi boost sepanjang sumbu y. Sedangkan persamaan transformasi boost sepanjang sumbu z diberikan dengan mengenakan pers.V.43 pada pers.V.30 yaitu ˜ q1 + i˜ q † = q cosh ϕ z 2 + kqi sinh ϕ z 2 1 + iq † cosh ϕ z 2 + iq † k sin ϕ z 2 = qq † + qiq † cosh 2 ϕ z 2 − kqq † k + kqiq † k sinh 2 ϕ z 2 + qiq † k + kqiq † − qq † k − kqq † cosh ϕ z 2 sinh ϕ z 2 A.22 120 ˜ q1 + i˜ q † = ct + ix + jy + kzcosh 2 ϕ z 2 − −ct + ix + jy − kz sinh 2 ϕ z 2 − 2z + kctcosh ϕ z 2 sinh ϕ z 2 = ct + kzcosh 2 ϕ z 2 + ct + kzsinh 2 ϕ z 2 + ix + jycosh 2 ϕ z 2 − ix + jysinh 2 ϕ z 2 − z + kctsinhϕ z = ct + kzcosh 2 ϕ z 2 + sinh 2 ϕ z 2 + ix + jycosh 2 ϕ z 2 − sinh 2 ϕ z 2 − z + kctsinhϕ z = ct + kzcoshϕ z + ix + jy − z + kctsinhϕ z = ctcoshϕ z − zsinhϕ z + ix + jy + kzcoshϕ z − ctsinhϕ z . A.23 LAMPIRAN B Hubungan SU 2 dan SO3

II.1 Grup SO3