BAB V PENYAJIAN TRK MENGGUNAKAN KUATERNION
Seperti dalam BAB 2, dalam bab ini juga akan dikaji TRK yang ditampilkan melalui grup-grup simetrinya namun dalam versi kuaternionik. Dalam hal ini ditinjau
transformasi rotasi terhadap masing-masing sumbu x, y dan z serta transformasi boost
sepanjang sumbu x, y dan z dalam grup-grup kuaternioniknya.
Ketika koordinat ruang-waktu suatu peristiwa dilambangkan dengan matriks kolom
4 × 1 real, maka grup simetrinya berupa O3, 1 yang berunsurkan matriks-
matriks 4
×4 real tertentu . Kemudian jika digunakan bilangan kompleks untuk meny- atakan koordinat ruang-waktu suatu peristiwa, maka koordinat ruang-waktu itu dil-
ambangkan dengan matriks bujursangkar 2
×2 kompleks dan grup simetrinya menjadi SL2, C yang berunsurkan matriks-matriks 2
× 2 kompleks tertentu. Jika sekarang digunakan kuaternion real, maka koordinat ruang-waktu suatu peristiwa cukup dil-
ambangkan oleh sebuah kuaternion real saja. Hal ini menyebabkan grup simetrinya berunsurkan matriks berukuran
1 × 1 yang berupa SL1, H
L
⊗ C
R
. Selain itu, dalam dunia kuaternion terdapat padanan dari grup
O3, 1 dan SO
O
3, 1, yang masing-masing berupa ˜
O1, H
L
⊗H
R
dan f SO
o
1, H
L
⊗H
R
serta metrik Minkowski yang terkait dengan grup itu diberikan oleh
g =
1 2
L
µ
R
µ
.
V.1 Grup
U 1, H
L
Suatu kuaternion real dapat dituliskan dalam pernyatan dua bilangan kom- pleks melalui dekomposisi simplektik
q = a + ia
1
+ ja
2
+ ka
3
= ξ + jζ, a
0,1,2,3
∈ R, V.1
53
54
dengan ξ = a
+ia
1
∈ C dan ζ = a
2
−ia
3
∈ C. Bentuk q = ξ +jζ disebut juga seba-
gai spinor kuaternionik. Dengan menggunakan pers.III.15, konjugat keseluruhan
dari q diberikan oleh
q
†
= ξ
∗
− jζ. V.2
Dari suatu kuaternion q dapat dibentuk suatu kuaternion anti-Hermitian qiq
†
yang dapat diidentikkan dengan tiga koordinat ruang
x, y, z, yakni
qiq
†
≡ ix + jy + kz, x ≡ |ξ|
2
− |ζ|
2
, y
− iz ≡ 2iζξ
∗
. V.3
Dari sini diperoleh bahwa x = a
2
+ a
2 1
− a
2 2
+ a
3 3
, y = 2a
a
3
+ a
1
a
2
, z = 2a
1
a
3
− a a
2
. V.4
Kemudian karena setiap aksi oleh suatu a
µ
L
µ
∈ H
L
terhadap q dapat digan-
tikan oleh perkalian dari kiri oleh suatu q
a
, yang komponen ke- µ nya diberikan oleh
a
µ
, maka H
L
dapat diidentikkan dengan H. Selanjutnya didefinisikan grup kuater- nionik
U 1, H
L
yang berisikan anggota dari H
L
yang memenuhi
uu
†
= u
†
u = 1, u
∈ H. V.5
Dari persamaan terakhir diperoleh bahwa, jika v
∈ U1, H
L
, maka v
−1
= v
†
juga unsur dari
U H
L
karena pers.V.5 berlaku untuk u = v
−1
. Menurut definisinya, jelas
U 1, H
L
⊂ H
L
. Secara umum, unsur dari U 1, H
L
berbentuk de leo,1998
u = e
iθ
x
+jθ
y
+kθ
k
2
, θ
x
, θ
y
, θ
z
∈ R. V.6
55
Transformasi u pada spinor kuaternionik q dan kuaternion anti-Hermitian nya, masing-
masing diberikan oleh q
7−→ uq qiq
†
7−→ uqiq
†
u
†
. V.7
Dapat ditunjukkan bahwa transformasi oleh suatu unsur SO3 pada
V =
x
y z
V.8
ekivalen dengan transformasi oleh suatu unsur U 1, H
L
pada
q = ξ + jζ. V.9
Sekarang andaikan ˜
q = uq, atau secara eksplisit
˜ q = ˜
ξ + j ˜ ζ = e
iθ
x
+jθ
y
+kθ
z
2
ξ + jζ = [A + jB]ξ + jζ. V.10
Di sini A dan B merupakan unsur dari C sedemikian rupa sehingga u = A + jB
merupakan unsur dari U 1, H
L
. Dari pers.V.10 dapat diperoleh ˜
ξ = Aξ − B
∗
ζ, ˜
ζ = Bξ + A
∗
ζ. V.11
56
Kemudian dari definisi ˜
x, ˜ y, ˜
z seperti dalam pers.V.3, diperoleh ˜
x = |A|
2
− |B|
2
x − iAB − A
∗
B
∗
y + AB + A
∗
B
∗
z ˜
y − i˜z = 2iA
∗
Bx + A
∗2
y − iz + B
2
y + iz. V.12
Selanjutnya akan dicari nilai-nilai A dan B sedemikian rupa sehingga A + jB identik
dengan transformasi R
1
, R
2
dan R
3
dalam SO3 pers.B.11, B.12 dan B.13.
Untuk memperoleh transformasi u yang identik dengan
R
1
, syarat pertama yang harus dipenuhi oleh
A dan B adalah |A|
2
− |B|
2
= 1 AB
− A
∗
B
∗
= 0 AB + A
∗
B
∗
= 0 V.13
yang menghasilkan |A| = 1 dan B = 0.
V.14 Jadi jika
A = cos θ
x
2 + i sin
θ
x
2 B = 0,
V.15
maka u
x
≡ e
i 2
θ
x
= cos θ
x
2 + i sin
θ
x
2 V.16
merupakan suatu transformasi di U 1, H
L
terhadap q yang ekivalen dengan transfor- masi
R
1
∈ SO3 terhadap V ∈ R
3
. Untuk memperoleh padanan dari A
2
, syarat
57
pertama yang harus dipenuhi oleh A dan B adalah
A
∗2
+ B
2
= 1 AB
− A
∗
B
∗
= 0 V.17
yang mengharuskan A, B
∈ R. Kemudian dengan mengatur
A = cos θ
y
2 dan
B = sin θ
y
2 V.18
yang memenuhi A
2
− B
2
= cos θ
y
, 2AB = sin θ
y
, V.19
maka u
y
≡ e
j 2
θ
y
= cos θ
y
2 + j sin
θ
y
2 V.20
merupakan transformasi di U 1, H
L
yang berpadanan dengan R
2
∈ SO3. Kemu- dian untuk memperoleh padanan
R
3
, syarat pertama yang harus dipenuhi oleh A dan
B adalah A
∗2
− B
2
= 1 AB + A
∗
B
∗
= 0 V.21
yang memberikan Re A
6= 0 dan Re B = 0. V.22
Dengan mengatur A = cos
θ
z
2 dan
B = −i sin
θ
z
2 V.23
58
yang memenuhi A
2
− |B|
2
= cos θ
z
2iAB = sin θ
z
, V.24
transformasi u
z
≡ e
k 2
θ
z
= cos θ
z
2 + k sin
θ
z
2 V.25
merupakan padanan dari R
3
∈ SO3 di U1, H
L
. Masing-masing dari
u
x
, u
y
, dan u
z
akan menjadi 1
∈ U1, H
L
jika θ
x
= θ
y
= θ
z
= 0. Oleh karena itu, turunan dari u
x
, u
y
dan u
z
di titik identitas masing-masing diberikan oleh
ˆ u
1
≡ du
x
dθ
x θ
x
=0
= i
2 =
L
i
2 ,
V.26
ˆ u
2
≡ du
y
dθ
y θ
y
=0
= j
2 =
L
j
2 ,
V.27
ˆ u
3
≡ du
z
dθ
z θ
z
=0
= k
2 =
L
k
2 .
V.28 Ketiga persamaan terakhir memberikan pembangkit untuk masing-masing rotasi pada
sumbu x, y dan z. Ketiga pembangkit itu memenuhi kaitan komutasi berikut
ˆ u
1
= [ˆ u
2
, ˆ u
3
], ˆ
u
2
= [ˆ u
3
, ˆ u
1
], ˆ
u
3
= [ˆ u
1
, ˆ u
2
]. V.29
Hubungan antara U 1, H
L
dan SO3 tidaklah isomorfisme, melainkan ho- momorfisme. Hal ini karena jika
u ∈ U1, H
L
berpadanan dengan R ∈ SO3,
maka −u ∈ U1, H
L
pun berpadanan dengan R. Grup U1, H
L
ini dapat dipan- dang sebagai grup
SU 2 versi kuaternion.
59
V.2 Grup
