BAB IV OPERATOR-OPERATOR KUATERNIONIK
IV.1 Operator-Operator R
, C, H-Linear Kanan
Berkaitan dengan sifat alamiah tak komutatif dari kuaternion, maka harus dibedakan antara aksi kiri dan aksi kanan dari satuan imajiner
i, j, k pada objek ku- aternion real
q. Untuk menyatakan aksi kiri dan aksi kanan dari satuan-satuan ima- jiner kuaternion, diperkenalkan operator-operator
L
µ
≡ 1, ~L, ~
L = L
i
, L
j
, L
k
, IV.1
yang dinamakan sebagai operator kiri, dan
R
µ
≡ 1, ~ R,
~ R = R
i
, R
j
, R
k
, IV.2
yang dinamakan operator kanan yang masing-masing bertindak pada kuaternion q
menurut cara sebagai berikut L
µ
: H −→ H, L
µ
q ≡ h
µ
q ∈ H
R
µ
: H −→ H, R
µ
q ≡ qh
µ
∈ H IV.3
dengan h
µ
≡ 1,~h = 1, i, j, k. Operator-operator ini memenuhi sifat
L
2 i
= L
2 j
= L
2 k
= L
i
L
j
L
k
= R
2 i
= R
2 j
= R
2 k
= R
k
R
j
R
i
= −1
IV.4
44
45
dan kaitan komutasi berikut
[L
i
, R
i
] = 0, [L
j
, R
j
] = 0, [L
k
, R
k
] = 0. IV.5
Selain itu diperkenalkan pula operator halang barred operator yang didefinisikan
sebagai operator yang berbentuk A
|B dan bekerja pada q ∈ H menurut
A |Bq ≡ AqB, A, B, q ∈ H.
IV.6
Selain dengan menggunakan notasi operator halang, aksi kiri dan kanan secara sekali- gus dari satuan-satuan imajiner kuaternion akan dinyatakan juga dengan
M
µν
≡ L
µ
⊗ R
ν
, M
µν
q ≡ L
µ
⊗ R
ν
q = h
µ
qh
µ
. IV.7
Selanjutnya, didefinisikan himpunan-himpunan berikut ini H
L
≡ {a
µ
L
µ
| a
µ
∈ R} H
R
≡ {b
µ
R
µ
| b
µ
∈ R} H
L
⊗ H
R
≡ {a
µν
L
µ
⊗ R
ν
| a
µν
∈ R}. IV.8
Dari definisi terakhir, diperoleh bahwa H
L
∼ = H
L
⊗ {1} H
R
∼ =
{1} ⊗ H
R
. IV.9
Kemudian, didefinisikan operasi penjumlahan di H
L
⊗ H
R
sebagai
a
µν
L
µ
⊗ R
ν
+ b
σρ
L
σ
⊗ R
ρ
q = a
µν
L
µ
⊗ R
ν
q + b
σρ
L
σ
⊗ R
ρ
q IV.10
46
dan operasi perkalian dengan setiap a
∈ R sebagai
aa
µν
L
µ
⊗ R
ν
q = aa
µν
L
µ
⊗ R
ν
q. IV.11
Dari sini, dapat diperoleh bahwa H
L
⊗ H
R
merupakan ruang vektor berdimensi 16 di atas R. Sedangkan H
L
maupun H
R
merupakan ruang vektor berdimensi 4 di atas R. Himpunan
{L
µ
⊗ R
ν
} dapat berperan sebagai basis di H
L
⊗ H
R
, sedangkan {L
µ
} dan
{R
ν
} masing-masing dapat digunakan sebagai basis di H
L
dan H
R
. Selanjutnya, untuk kesederhanaan, diperkenalkan notasi
O
X
: H −→ H
IV.12
untuk menyatakan unsur-unsur di H
L
⊗ H
R
yang linear dari kanan terhadap lapangan X. Dari sini, maka
O
R
di H
L
⊗ H
R
yang berbentuk
O
R
= a
µν
L
µ
⊗ R
ν
∈ H
L
⊗ H
R
IV.13
merupakan operator-operator yang R-linear dari kanan karena dipenuhi
M
µν
qρ = M
µν
qρ = ρM
µν
q, ρ ∈ R.
IV.14
Himpunan semua O
R
seperti dalam pers.IV.13 jelas merupakan H
L
⊗ H
R
. Jika X
= C, maka O
C
di H
L
⊗ H
R
berbentuk
O
C
= a
µn
L
µ
⊗ R
n
, n = 0, 1
IV.15
karena dipenuhi M
µn
qξ = M
µn
qξ, ξ
∈ C. IV.16
47
Himpunan semua O seperti pada pers.IV.15 akan dinyatakan sebagai H
L
⊗ C
R
. Kemudian karena perkalian kuaternion bersifat asosiatif, maka
O
H
yang didefinisikan sebagai
O
H
= a
µ
L
µ
∈ H
L
, IV.17
merupakan operator yang linear kanan terhadap H di H karena berlaku
L
µ
q
1
q
2
= L
µ
q
1
q
2
, q
1
, q
2
∈ H. IV.18
Untuk definisi terakhir ini telah digunakan penyalahgunaan notasi karena H bukan merupakan lapangan. Dari sini dapat disimpulkan bahwa
H
L
⊂ H
L
⊗ C
R
⊂ H
L
⊗ R
R
. IV.19
Dengan menggunakan notasi operator halang O
R
, O
C
dan O
H
masing-masing dapat dinyatakan sebagai
O
R
= q + q
1
|i + q
2
|j + q
3
|k O
C
= q + q
1
|i O
H
= q IV.20
dengan q, q
, q
1
, q
2
, q
3
∈ H
R
.
IV.2 Operasi Konjugasi, Transpose dan Trace
Kategori