12
oleh faktor Γ
≡
1 q
1−
V 2
c 2
dalam transformasi Lorentz yang terkait. Efek pemendekan
panjang suatu benda itu dikenal dengan nama kontraksi Lorentz-Fitzgerald. Pan-
jang benda yang diukur di kerangka K
′
dimana benda itu rehat disebut sebagai
panjang sejati proper length dari benda itu. Dengan mengasumsikan bahwa semua
besaran panjang dan waktu bernilai real, maka berlaku 0 V c sehingga Γ 1.
Pengukuran selang waktu antara dua buah peristiwa yang dilakukan oleh berba- gai kerangka inersial dengan jam-jam sinkronnya masing-masing tidak akan mem-
berikan hasil yang sama. Hal ini merupakan konsekuensi langsung dari bentuk trans- formasi Lorentz. Jika dua buah peristiwa terjadi pada suatu lokasi yang sama menurut
suatu kerangka inersial, maka pengukuran selang waktu dengan menggunakan jam yang rehat di kerangka itu dan terletak di lokasi tempat peristiwa itu terjadi dise-
but sebagai selang waktu sejati proper time interval. Untuk kerangka inersial lain
yang mengamati kedua peristiwa itu tidak terjadi di satu lokasi yang sama, maka pengukuran selang waktu dua peristiwa itu akan lebih besar daripada selang waktu
sejati. Efek ini dikenal dengan nama dilatasi waktu time dilation. Pengamatan se-
lang waktu sejati ∆τ dan selang waktu lainnya ∆t terhadap dua peristiwa yang
sama terkait oleh transformasi berikut
∆t = ∆τ
q 1
−
V
2
c
2
. II.7
Dalam pers.II.7, V menyatakan besarnya kecepatan relatif kerangka inersial yang
mengamati ∆t terhadap kerangka inersial yang memiliki ∆τ .
II.2 Ruang Minkowski
Herman Minkowski pada tahun 1908 mempublikasikan karyanya yang berjudul Space and Time yang berusaha menyajikan TRK melalui tinjauan geometri ruang-
13
waktu yang kini dikenal sebagai ruang Minkowski. Ruang Minkowski merupakan
suatu himpunan
6
M yang berunsurkan semua peristiwa di alam ini. Pemberian nilai koordinat
ct, x, y, z
7
pada suatu peristiwa diidentikkan dengan mengamati peristiwa itu dari suatu kerangka acuan
K t, x, y, z. Perjalanan atau sejarah suatu partikel di alam ini dilukiskan dalam ruang Minkowski
M sebagai kurva dengan karakteristik
tertentu. Kurva itu nantinya akan disebut sebagai garis dunia world line.
Dari pers.II.2 dan II.5, untuk dua buah peristiwa, diperoleh interval waktu
∆t
′
= Γ∆t − ~
V ·
∆~r c
2
II.8
dan interval ruang
∆~r
′
= ∆~r + Γ − 1∆~r · ~
V ~
V V
2
− Γ ~ V
∆t. II.9
Kemudian dari pers.II.8 dan II.9 dengan mengalikan c pada kedua sisi pers.II.8
dapat diperoleh kaitan berikut
c∆t
′ 2
− ∆~r
′2
= c∆t
2
− ∆~r
2
, II.10
atau dalam bentuk uraian komponen-komponen Cartesannya
c∆t
′ 2
− ∆x
′ 2
− ∆y
′ 2
− ∆z
′ 2
= c∆t
2
− ∆x
2
− ∆y
2
− ∆z
2
. II.11
Dari pers.II.11 terlihat bahwa bentuk ∆s
2
≡ c∆t
2
−∆x
2
−∆y
2
−∆z
2
yang dinyatakan oleh
K dalam ct, x, y, z sama dengan yang dinyatakan oleh K
′
dalam
6
Dari tinjauan geometri diferensial, himpunan M ini merupakan manifold yang dilengkapi dengan
objek metrik absolut tertentu. Metrik ini dikenal dengan nama metrik Minkowski dan tergolong dalam metrik Lorentzian.
7
Adanya faktor c di sini dimaksudkan untuk memberikan dimensi yang sama antara koordinat ke- nol dengan koordinat kesatu, kedua dan ketiga.
14
ct
′
, x
′
, y
′
, z
′
. Karena K dan K
′
sembarang kerangka inersial, maka ∆s
2
merupakan
besaran yang invarian terhadap transformasi Lorentz dan ditafsirkan sebagai selang ruang-waktu antara dua peristiwa Carroll,1997.
Dengan menuliskan
ct = x , x = x
1
, y = x
2
, dan z = x
3
, II.12
∆s
2
dalam sistem koordinat x
, x
1
, x
2
, x
3
dapat diberikan dalam bentuk yang lebih ringkas
8
∆s
2
= η
µν
∆x
µ
∆x
ν
, II.13
dengan
η
µν
=
+1 µ = ν = 1, 2, atau 3
−1 µ = ν = 0 µ
6= ν. II.14
Obyek-obyek η
µν
merupakan komponen suatu tensor metrik η tak-definit in-
definite bersignature 3, 1 yang disebut sebagai tensor metrik Minkowski. Ben-
tuk η
µν
dalam pers.II.13 merupakan komponen tensor η dalam sistem koordinat
x , x
1
, x
2
, x
3
. Karena telah diasumsikan bahwa partikel bebas tanpa ada pengaruh dari gaya
luar akan tetap bergerak lurus beraturan jika diamati dari kerangka inersial, maka dari tinjauan geometri diferensial hal ini berarti bahwa manifol ruang Minkowski
M dapat diliput cover oleh cukup satu sistem koordinat yang membuat komponen-
8
Di sini telah digunakan kesepakatan penjumlahan Einstein untuk indeks berulang. Dua indeks berulang yang masing-masing terletak di atas dan di bawah menandakan indeks tersebut harus dijum-
lahkan.
15
komponen metrik Minkowski bernilai seperti dalam pers.II.14.
9
Hal ini juga berarti bahwa pada ruang Minkowski
M dapat dibentuk struktur ruang vektor yang diper- oleh dari R
4
melalui sistem koordinat itu. Dari sini, peristiwa-peristiwa di ruang Minkowski
M dapat dipandang sebagai suatu vektor. Sebenarnya, yang disebut se- bagai ruang Minkowski adalah manifold ruang-waktu
M yang dilengkapi dengan metrik Minkowski
η dan sering dituliskan sebagai M, η. Untuk selanjutnya dalam
skripsi ini, ruang Minkowski akan dituliskan sebagai M.
Andaikan a, b suatu interval terbuka di R. Suatu lintasan σ di dalam ruang
M yang diparameteri oleh ¯t, dengan a ¯t b, dituliskan sebagai σ¯t. Nilai-nilai koordinat dari lintasan itu menurut
x , x
1
, x
2
, x
3
dituliskan sebagai
x ◦ σ¯t = x
¯ t, x
1
¯ t, x
2
¯ t, x
3
¯ t.
II.15
Turunanvektor singgung dari x
◦ σ di titik σ¯t = p diberikan oleh dx
◦ σ¯t d¯
t
p
= dx
¯ t
d¯ t
, dx
1
¯ t
d¯ t
, dx
2
¯ t
d¯ t
, dx
3
¯ t
d¯ t
. II.16
Penyematan setiap titik dengan vektor singgungnya di lintasan itu disebut sebagai
medan vektor singgung lintasan itu.
Jika ¯ t = t =
x c
dan lintasan σ menggambarkan garis dunia suatu partikel
bermassa, maka vektor singgung di titik p dari lintasan itu ,
v
p
≡ dx
◦ σt dt
p
, II.17
disebut sebagai vektor-4 kecepatan koordinat dari lintasan
σ di p. Jika ~v meru-
9
Sistem koordinat ini membuat semua koefisien hubungankoneksi Levi-Civita lenyap. Sistem koordinat ini akan disebut sebagai sistem koordinat inersial. Terhadap sistem koordinat ini, persamaan
geodesik yang menggambarkan persamaan gerak partikel bebas menjadi
d
2
x
µ
d t
2
= 0.
16
pakan kecepatan dari partikel itu menurut Kx
, x
1
, x
2
, x
3
, maka pers.II.17 dapat dituliskan dalam bentuk
v
p
= c, ~v
p
. II.18
Kemudian jika ¯ t = τ , maka
u ≡
dx ◦ στ
dτ
p
II.19
disebut sebagai vektor-4 swa kecepatan bagi lintasan
σ di p. Syarat yang harus dipenuhi oleh garis dunia suatu partikel bermassa adalah
nilai turunannya di setiap titik di lintasan itu harus memenuhi
ηv
p
, v
p
= c
2
− ~v
2 p
0. II.20
Vektor v
p
yang demikian disebut sebagai vektor bak-waktu time-like. Untuk garis
dunia cahaya, vektor singgungnya harus memenuhi
ηv
p
, v
p
= c
2
− c
2
= 0. II.21
Vektor v
p
yang demikian disebut sebagai vektor bak-cahaya light-like atau vektor
null. Vektor singgung yang memenuhi syarat
ηv
p
, v
p
II.22
disebut sebagai vektor bak-ruang space-like. Vektor singgung ini merupakan vek-
tor singgung dari suatu lintasan partikel yang pernah berkecepatan melebihi c. Oleh
karena itu, dengan adanya faktor Γ dalam transformasi Lorentz, lintasan yang salah
satu vektor singgungnya merupakan vektor bak-ruang bukan merupakan lintasan par- tikel bermassa maupun cahaya.
17
Andaikan kerangka K
′
bergerak terhadap K sepanjang sumbu x
′
di K dengan
kecepatan relatif sebesar V . Penggambaran 2-D diagram ruang-waktu Minkowski
untuk kedua kerangka itu diberikan oleh gambar berikut
Gambar II.1: Diagram ruang-waktu Dalam Gb.II.1, sumbu
x
′
dan ct
′
terlihat tidak tegak lurus. Dengan me- ngatur
x
′0
= 0 di dalam pers.II.1 diperoleh x = βx
1
, dengan β =
V c
. Karena x
′0
= 0 merupakan sumbu x
′1
di K
′
, maka sumbu x
′1
digambarkan oleh garis yang membentuk sudut sebesar
φ = tan
−1
β 45 terhadap sumbu
x
1
. Kemudian dengan mengatur
x
′1
= 0 di dalam pers.II.1 diperoleh x
1
= βx yang merupakan sumbu
x
′0
= ct
′
dari K
′
. Sudut yang dibentuk oleh sumbu x
′0
dengan x
juga sebesar φ.
Karena titik di sumbu x
1
memiliki koordinat kenol ct = 0, maka sumbu x
merupakan wilayah keserentakan untuk kerangka K. Kemudian titik di sumbu x
′1
memiliki koordinat ke nol ct
′
= 0, maka sumbu x
′1
merupakan wilayah keserentakan untuk kerangka
K
′
. Titik perpotongan semua sumbu dapat diartikan sebagai peristiwa yang terjadi
saat sekarang t = t
′
= 0 dan berada di pusat koordinat yang sama bagi K dan K
′
. Jika pada titik itu dipancarkan sinar cahaya ke arah sumbu
x
1
positif atau negatif,
18
maka garis dunianya harus membentuk sudut sebesar tan
−1 ct
′
ct
= tan
−1
1 = 45 terhadap sumbu
ct. Kemudian karena adanya pembatasan kecepatan untuk partikel bermassa, maka lintasangaris dunia partikel bermassa yang melintasi titik perpoto-
ngan sumbu itu akan selalu berada di dalam wilayah yang dibatasi oleh garis dunia
cahaya bagian atas. Wilayah itu disebut sebagai wilayah bak-waktu masa depan.
Wilayah yang dibatasai oleh garis dunia cahaya bagian bawah merupakan wilayah yang dapat dilalui oleh partikel bermassa yang akan melintas di titik perpotongan
sumbu-sumbu. Wilayah ini disebut sebagai wilayah bak-waktu lampau. Untuk
sembarang titik di kedua wilayah bak-waktu dapat dihubungkan dengan titik perpo- tongan sumbu-sumbu oleh suatu garis lurus yang merupakan sumbu
˜ x
dari suatu kerangka ˜
K yang bergerak relatif dengan kecepatan sebesar ˜ V relatif terhadap K
sepanjang sumbu x
1
. Wilayah di luar wilayah bak-waktu masa depan dan lampau disebut sebagai
wilayah bak-ruang. Untuk sembarang titik di dalam wilayah ini dapat dihubungkan
dengan titik perpotongan sumbu-sumbu oleh garis lurus yang merupakan sumbu ¯
x
1
dari suatu kerangka ¯ K yang bergerak relatif dengan kecepatan sebesar ¯
V terhadap K sepanjang sumbu
x
1
. Meskipun berada di dalam wilayah bak-waktu lampau dan masa depan, tidak
semua lintasan yang demikian merupakan garis dunia partikel bermassa. Adanya pembatasan kecepatan untuk partikel bermassa juga memberikan syarat bahwa lin-
tasan itu tidak boleh memiliki vektor singgung yang tergolong vektor bak-ruang.
II.3 Grup Lorentz
