90
ψ~p, −, +
1 2
|~x, t = N
p
−p m+E
p
u ~p, +
1 2
u ~p, +
1 2
e
−i−E
p
t−~ p·~
x
VI.87
ψ~p, −, −
1 2
|~x, t = N
p
p m+E
p
u ~p,
−
1 2
u ~p,
−
1 2
e
−i−E
p
t−~ p·~
x
VI.88
dengan E
p
dan N
p
diberikan pada pers.VI.80.
VI.2 Persamaan Dirac dalam Aljabar Kuaternion
Dalam fasal 6.1.3 telah disebutkan bahwa salah satu bentuk transformasi Lorentz, yakni wakilan chiral, dalam ruang yang menampung spinor-spinor Dirac berbentuk
blok diagonal 4
× 4 dengan unsur-unsur blok diagonalnya adalah A dan A
† −1
den- gan
A ∈ SL2, C. Di dalam aljabar kuaternion terdapat padanan dari ruang spinor
dan grup SL2, C. Padanan itu masing-masing berupa H dan SL1, H
L
⊗ H
R
. Dari sini ruang yang menampung spinor-spinor Dirac kuaternionik akan berbentuk
H
2
. Sedangkan salah satu bentuk wakilan bagi grup SL1, H
L
⊗ H
R
dalam H
2
akan berbentuk jumlahan dua buah wakilan satu dimensi dari grup
SL1, H
L
⊗ H
R
dalam ruang H yang tidak ekivalen. Bentuk wakilan ini merupakan padanan wakilan chiral
dan selanjutnya akan disebut sebagai wakilan chiral kuaternionik.
VI.2.1 Wakilan Chiral Kuaternionik
Telah disebutkan dalam fasal 5.2 bahwa bentuk umum transformasi Lorentz dalam ruang spinor kuaternionik adalah pers.V.55
˜ s
+
~θ, ~ ϕ = exp~
L · ~θ + R
i
~ ϕ2
VI.89
91
yang bekerja pada spinor kuaternionik ˜
q
+
. Seperti halnya pada grup SL2, C, pada
grup SL1, H
L
⊗ H
R
pun terdapat wakilan
˜ s
−
~θ, ~ ϕ = exp~
L · ~θ − R
i
~ ϕ2
VI.90
yang bekerja pada spinor kuaternionik ˜
q
−
yang tidak ekivalen dengan wakilan dalam pers.VI.89. Dari sini dapat dibentuk wakilan chiral kuaternionik bagi grup
SL1, H
L
⊗ H
R
˜ S~θ, ~ϕ =
˜
s
+
˜ s
−
VI.91
dan spinor Dirac kuaternionik ˜
ψ =
˜ q
+
˜ q
−
VI.92
yang tertransformasi oleh ˜ S~θ, ~
ϕ menurut
˜ ψ
7−→
˜ s
+
˜ s
−
˜ q
+
˜ q
−
. VI.93
Persamaan Dirac, berbeda dengan yang dipaparkan pada fasal 6.1, dapat diper- oleh dengan memanfaatkan transformasi boost. Untuk tujuan ini akan dimanfaatkan
transformasi boost, ~ θ = 0, ~
ϕ 6= 0,
˜ q
+
7−→ exp~LR
i
· ~ ϕ2˜
q
+
= expL
n
R
i
ϕ2˜ q
+
VI.94
dengan
L
n
≡ ~L · ~n = n
1
L
i
+ n
2
L
j
+ n
3
L
k
, L
2 n
= −1, ϕ =
q ϕ
2 x
+ ϕ
2 y
+ ϕ
2 z
. VI.95
92
Pers.VI.94 dapat berbentuk
˜ q
+
7−→ cosh ϕ
2 + L
n
R
i
sinh ϕ
2 ˜
q
+
, VI.96
sedangkan transformasi terhadap ˜
q
−
berbentuk
˜ q
−
7−→ cosh ϕ
2 − L
n
R
i
sinh ϕ
2 ˜
q
−
. VI.97
Sekarang andaikan spinor awal mengacu pada partikel diam, yakni ˜
q
±
0, dan spinor yang tertransformasi mengacu pada partikel yang sudah memiliki momentum
~p, yakni ˜ q
+
~p. Kemudian dengan menggunakan persamaan
coshϕ = Γ = E
m ,
sinhϕ = βΓ = p
m ,
VI.98
yang berimplikasi
cosh ϕ
2 =
s Γ + 1
2 =
s E + m
2m ,
sinh ϕ
2 =
s Γ
− 1 2
= s
E − m
2m ,
VI.99 pers.VI.96 dan VI.97 masing-masing dapat dinyatakan sebagai
˜ q
+
~p = s
E + m 2m
+ L
n
R
i
s E
− m 2m
˜ q
+
= E + m + ~
LR
i
· ~ p
p 2mE + m
˜ q
+
0, VI.100
93
dan
˜ q
−
~p = s
E + m 2m
− L
n
R
i
s E
− m 2m
˜ q
+
= E + m
− ~LR
i
· ~ p
p 2mE + m
˜ q
−
0. VI.101
Dalam pers.VI.82 dan VI.83, u ~p,
±
1 2
merupakan swafungsi bagi operator helisi- tas sepanjang arah
~p. Oleh karena itu, sebagai padanan dari α
±
u ~p,
±
1 2
α
±
meru- pakan suatu konstanta,
˜ q
±
~p pun merupakan swafungsi operator helisitas kuater- nionik sepanjang arah
~p. Kemudian karena dalam keadaan diam spin partikel yang ditinjau tidak teramati, diperoleh kaitan
˜ q
+
0 = ˜ q
−
0 . Dari sini, dengan sedikit manipulasi pada pers.VI.100 dan VI.101, diperoleh
m˜ q
+
~p = E + ~ LR
i
· ~ p˜
q
−
~p VI.102
dan m˜
q
−
~p = E − ~LR
i
· ~ p˜
q
+
~p. VI.103
Dalam bentuk matriks, persamaan terakhir berbentuk
−m E + ~
LR
i
· ~ p
E − ~LR
i
· ~ p
−m
˜
q
+
~p ˜
q
−
~p
= 0.
VI.104
Dengan mendefinisikan matriks-matriks γ-Dirac dalam wakilan chiral kuaternionik
˜ γ
≡
0 1 1 0
, ˜
~γ ≡
−1
1
~LR
i
, VI.105
94
pers.VI.104 dapat dituliskan menjadi
˜ γ
µ
p
µ
− m ˜ ψ~p = 0,
VI.106
dengan ˜
γ
µ
memenuhi ˜
γ
µ
˜ γ
ν
+ ˜ γ
ν
˜ γ
µ
= −2η
µν
. VI.107
Inilah persamaan Dirac dalam wakilan chiral kuaternionik yang diperoleh dengan memanfatkan transformasi boost seperti yang direncanakan di atas.
Pers.VI.104 dapat ditulis dalam bentuk persamaan swanilai ˆ Hψ = Eψ,
yaitu
~ LR
i
· ~ p
m m
−~LR
i
· ~ p
˜ q
+
~p ˜
q
−
~p
=
E
0 E
˜
q
+
~p ˜
q
−
~p
VI.108
dengan operator Hamiltonan dalam wakilan chiral kuaternionik didefinisikan sebagai
ˆ˜ H =
~
LR
i
· ~ p
m m
−~LR
i
· ~ p
. VI.109
Kemudian dari pers.VI.105, dapat didefinisikan ˜
β ≡ ˜γ
, VI.110
dan ˜
β ˜ α
n
≡ ˜γ
n
= ˜ γ
˜ α
n
. VI.111
95
Persamaan terakhir dapat dituliskan dalam bentuk
−1 1
L
n
R
i
=
0 1 1 0
a b c d
L
n
R
i
VI.112
dengan ˜
α
n
=
a b c d
L
n
R
i
, VI.113
sehingga diperoleh a =
−d = 1 dan b = c = 0. Dari sini diperoleh
˜ α
n
=
1 −1
L
n
R
i
. VI.114
Untuk partikel tak bermassa, pers.VI.104 terpisah menjadi dua persamaan yang masing-masing dikarakteristikkan oleh spinor kuaternionik satu komponen
E + ~ LR
i
· ~ p˜
q
−
~p = 0 VI.115
dan E
− ~LR
i
· ~ p˜
q
+
~p = 0, VI.116
yang menyatakan persamaan Weyl kuaternionik. Karena untuk partikel tak bermassa berlaku
E = p, kedua persamaan terakhir masing-masing menjadi
~ LR
i
· ~ p˜
q
−
~p = −˜q
−
~p VI.117
dan ~
LR
i
· ~ p˜
q
+
~p = ˜ q
+
~p. VI.118
96
Dari sini terlihat bahwa operator helisitas kuaternionik sepanjang arah ~p dapat didefin-
isikan sebagai 1
2
1 0 0 1
~LR
i
· ˆ
~p = 1
2 I
2
~ LR
i
· ˆ
~p VI.119
dengan swafungsinya adalah ˜
q
±
~p dan swanilainya ±
1 2
.
VI.2.2 Wakilan Standar Kuaternionik
Pada fasal 6.2.1 diperoleh bentuk wakilan chiral bentuk kuaternionik untuk matriks-matriks
˜ γ-Dirac, ˜
β dan ˜ α, Hamiltonan ˆ˜
H dan operator helisitas
1 2
I
2
~ LR
i
· ~p. Jika melihat pada pers.VI.109 operator dalam persamaan itu terlihat memiliki
bentuk yang mirip dengan bentuk operator Hamiltonan ˆ˜
H dalam pers.VI.44, hanya saja dalam wakilan chiral kuaternionik ukuran matriksnya terlihat tersusut menjadi
2 × 2. Dari tinjauan ini, dapat dibentuk wakilan lain bagi operator Hamiltonan yang
berpadanan dengan operator Hamiltonan ˆ H versi wakilan standar dalam pers.VI.55.
Operator Hamiltonan ˆ H yang baru ini berbentuk
ˆ H =
m
~ LR
i
· ~ p
~ LR
i
· ~ p
−m
,
VI.120
sehingga diperoleh persamaan Dirac
m ~
LR
i
· ~ p
~ LR
i
· ~ p
−m
q
+
~p q
−
~p
=
ǫ 0
0 ǫ
q
+
~p q
−
~p
.
VI.121
Wakilan yang baru ini akan disebut sebagai wakilan standar kuaternionik.
Dari pers.VI.120 dapat didefinisikan matriks-matriks γ-Dirac dalam wakilan
97
standar kuaternionik
γ ≡
1
−1
, ~γ ≡
1
−1 0
~LR
i
. VI.122
Matriks-matriks di atas memenuhi kaitan
γ
µ
γ
ν
+ γ
ν
γ
µ
= −2η
µν
. VI.123
Begitu juga untuk matriks-matriks Dirac-Pauli β dan α
n
dapat didefinisikan sebagai
β ≡ γ
=
1 −1
dan α
n
=
0 1 1 0
L
n
R
i
. VI.124
Wakilan standar ini dapat diperoleh dari wakilan chiral dengan melakukan transformasi similar oleh
S = 1
√ 2
1
1 1
−1
; S
−1
= 1
√ 2
1
1 1
−1
.
VI.125
Kemudian untuk melengkapi, bentuk transformasi Lorentz dalam wakilan stan- dar diberikan oleh
S~θ, ~ϕ = 1
2
˜ s
+
+ ˜ s
−
˜ s
+
˜ s
−
˜ s
+
− ˜s
−
˜ s
+
+ ˜ s
−
, VI.126
yang diperoleh dengan menerapkan transformasi similar pada pers.VI.91, dengan ˜
s
+
dan ˜
s
−
masing-masing diberikan pada pers.VI.89 dan VI.90.
98
VI.3 Penyelesaian Persamaan Dirac untuk Partikel Bebas