Persamaan Dirac dalam Aljabar Kuaternion

90 ψ~p, −, + 1 2 |~x, t = N p    −p m+E p u ~p, + 1 2 u ~p, + 1 2    e −i−E p t−~ p·~ x VI.87 ψ~p, −, − 1 2 |~x, t = N p    p m+E p u ~p, − 1 2 u ~p, − 1 2    e −i−E p t−~ p·~ x VI.88 dengan E p dan N p diberikan pada pers.VI.80.

VI.2 Persamaan Dirac dalam Aljabar Kuaternion

Dalam fasal 6.1.3 telah disebutkan bahwa salah satu bentuk transformasi Lorentz, yakni wakilan chiral, dalam ruang yang menampung spinor-spinor Dirac berbentuk blok diagonal 4 × 4 dengan unsur-unsur blok diagonalnya adalah A dan A † −1 den- gan A ∈ SL2, C. Di dalam aljabar kuaternion terdapat padanan dari ruang spinor dan grup SL2, C. Padanan itu masing-masing berupa H dan SL1, H L ⊗ H R . Dari sini ruang yang menampung spinor-spinor Dirac kuaternionik akan berbentuk H 2 . Sedangkan salah satu bentuk wakilan bagi grup SL1, H L ⊗ H R dalam H 2 akan berbentuk jumlahan dua buah wakilan satu dimensi dari grup SL1, H L ⊗ H R dalam ruang H yang tidak ekivalen. Bentuk wakilan ini merupakan padanan wakilan chiral dan selanjutnya akan disebut sebagai wakilan chiral kuaternionik.

VI.2.1 Wakilan Chiral Kuaternionik

Telah disebutkan dalam fasal 5.2 bahwa bentuk umum transformasi Lorentz dalam ruang spinor kuaternionik adalah pers.V.55 ˜ s + ~θ, ~ ϕ = exp~ L · ~θ + R i ~ ϕ2 VI.89 91 yang bekerja pada spinor kuaternionik ˜ q + . Seperti halnya pada grup SL2, C, pada grup SL1, H L ⊗ H R pun terdapat wakilan ˜ s − ~θ, ~ ϕ = exp~ L · ~θ − R i ~ ϕ2 VI.90 yang bekerja pada spinor kuaternionik ˜ q − yang tidak ekivalen dengan wakilan dalam pers.VI.89. Dari sini dapat dibentuk wakilan chiral kuaternionik bagi grup SL1, H L ⊗ H R ˜ S~θ, ~ϕ =    ˜ s + ˜ s −    VI.91 dan spinor Dirac kuaternionik ˜ ψ =    ˜ q + ˜ q −    VI.92 yang tertransformasi oleh ˜ S~θ, ~ ϕ menurut ˜ ψ 7−→    ˜ s + ˜ s −       ˜ q + ˜ q −    . VI.93 Persamaan Dirac, berbeda dengan yang dipaparkan pada fasal 6.1, dapat diper- oleh dengan memanfaatkan transformasi boost. Untuk tujuan ini akan dimanfaatkan transformasi boost, ~ θ = 0, ~ ϕ 6= 0, ˜ q + 7−→ exp~LR i · ~ ϕ2˜ q + = expL n R i ϕ2˜ q + VI.94 dengan L n ≡ ~L · ~n = n 1 L i + n 2 L j + n 3 L k , L 2 n = −1, ϕ = q ϕ 2 x + ϕ 2 y + ϕ 2 z . VI.95 92 Pers.VI.94 dapat berbentuk ˜ q + 7−→ cosh ϕ 2 + L n R i sinh ϕ 2 ˜ q + , VI.96 sedangkan transformasi terhadap ˜ q − berbentuk ˜ q − 7−→ cosh ϕ 2 − L n R i sinh ϕ 2 ˜ q − . VI.97 Sekarang andaikan spinor awal mengacu pada partikel diam, yakni ˜ q ± 0, dan spinor yang tertransformasi mengacu pada partikel yang sudah memiliki momentum ~p, yakni ˜ q + ~p. Kemudian dengan menggunakan persamaan coshϕ = Γ = E m , sinhϕ = βΓ = p m , VI.98 yang berimplikasi cosh ϕ 2 = s Γ + 1 2 = s E + m 2m , sinh ϕ 2 = s Γ − 1 2 = s E − m 2m , VI.99 pers.VI.96 dan VI.97 masing-masing dapat dinyatakan sebagai ˜ q + ~p = s E + m 2m + L n R i s E − m 2m ˜ q + = E + m + ~ LR i · ~ p p 2mE + m ˜ q + 0, VI.100 93 dan ˜ q − ~p = s E + m 2m − L n R i s E − m 2m ˜ q + = E + m − ~LR i · ~ p p 2mE + m ˜ q − 0. VI.101 Dalam pers.VI.82 dan VI.83, u ~p, ± 1 2 merupakan swafungsi bagi operator helisi- tas sepanjang arah ~p. Oleh karena itu, sebagai padanan dari α ± u ~p, ± 1 2 α ± meru- pakan suatu konstanta, ˜ q ± ~p pun merupakan swafungsi operator helisitas kuater- nionik sepanjang arah ~p. Kemudian karena dalam keadaan diam spin partikel yang ditinjau tidak teramati, diperoleh kaitan ˜ q + 0 = ˜ q − 0 . Dari sini, dengan sedikit manipulasi pada pers.VI.100 dan VI.101, diperoleh m˜ q + ~p = E + ~ LR i · ~ p˜ q − ~p VI.102 dan m˜ q − ~p = E − ~LR i · ~ p˜ q + ~p. VI.103 Dalam bentuk matriks, persamaan terakhir berbentuk    −m E + ~ LR i · ~ p E − ~LR i · ~ p −m       ˜ q + ~p ˜ q − ~p    = 0. VI.104 Dengan mendefinisikan matriks-matriks γ-Dirac dalam wakilan chiral kuaternionik ˜ γ ≡    0 1 1 0    , ˜ ~γ ≡    −1 1    ~LR i , VI.105 94 pers.VI.104 dapat dituliskan menjadi ˜ γ µ p µ − m ˜ ψ~p = 0, VI.106 dengan ˜ γ µ memenuhi ˜ γ µ ˜ γ ν + ˜ γ ν ˜ γ µ = −2η µν . VI.107 Inilah persamaan Dirac dalam wakilan chiral kuaternionik yang diperoleh dengan memanfatkan transformasi boost seperti yang direncanakan di atas. Pers.VI.104 dapat ditulis dalam bentuk persamaan swanilai ˆ Hψ = Eψ, yaitu    ~ LR i · ~ p m m −~LR i · ~ p       ˜ q + ~p ˜ q − ~p    =    E 0 E       ˜ q + ~p ˜ q − ~p    VI.108 dengan operator Hamiltonan dalam wakilan chiral kuaternionik didefinisikan sebagai ˆ˜ H =    ~ LR i · ~ p m m −~LR i · ~ p    . VI.109 Kemudian dari pers.VI.105, dapat didefinisikan ˜ β ≡ ˜γ , VI.110 dan ˜ β ˜ α n ≡ ˜γ n = ˜ γ ˜ α n . VI.111 95 Persamaan terakhir dapat dituliskan dalam bentuk    −1 1    L n R i =    0 1 1 0       a b c d    L n R i VI.112 dengan ˜ α n =    a b c d    L n R i , VI.113 sehingga diperoleh a = −d = 1 dan b = c = 0. Dari sini diperoleh ˜ α n =    1 −1    L n R i . VI.114 Untuk partikel tak bermassa, pers.VI.104 terpisah menjadi dua persamaan yang masing-masing dikarakteristikkan oleh spinor kuaternionik satu komponen E + ~ LR i · ~ p˜ q − ~p = 0 VI.115 dan E − ~LR i · ~ p˜ q + ~p = 0, VI.116 yang menyatakan persamaan Weyl kuaternionik. Karena untuk partikel tak bermassa berlaku E = p, kedua persamaan terakhir masing-masing menjadi ~ LR i · ~ p˜ q − ~p = −˜q − ~p VI.117 dan ~ LR i · ~ p˜ q + ~p = ˜ q + ~p. VI.118 96 Dari sini terlihat bahwa operator helisitas kuaternionik sepanjang arah ~p dapat didefin- isikan sebagai 1 2    1 0 0 1    ~LR i · ˆ ~p = 1 2 I 2 ~ LR i · ˆ ~p VI.119 dengan swafungsinya adalah ˜ q ± ~p dan swanilainya ± 1 2 .

VI.2.2 Wakilan Standar Kuaternionik

Pada fasal 6.2.1 diperoleh bentuk wakilan chiral bentuk kuaternionik untuk matriks-matriks ˜ γ-Dirac, ˜ β dan ˜ α, Hamiltonan ˆ˜ H dan operator helisitas 1 2 I 2 ~ LR i · ~p. Jika melihat pada pers.VI.109 operator dalam persamaan itu terlihat memiliki bentuk yang mirip dengan bentuk operator Hamiltonan ˆ˜ H dalam pers.VI.44, hanya saja dalam wakilan chiral kuaternionik ukuran matriksnya terlihat tersusut menjadi 2 × 2. Dari tinjauan ini, dapat dibentuk wakilan lain bagi operator Hamiltonan yang berpadanan dengan operator Hamiltonan ˆ H versi wakilan standar dalam pers.VI.55. Operator Hamiltonan ˆ H yang baru ini berbentuk ˆ H =    m ~ LR i · ~ p ~ LR i · ~ p −m    , VI.120 sehingga diperoleh persamaan Dirac    m ~ LR i · ~ p ~ LR i · ~ p −m       q + ~p q − ~p    =    ǫ 0 0 ǫ       q + ~p q − ~p    . VI.121 Wakilan yang baru ini akan disebut sebagai wakilan standar kuaternionik. Dari pers.VI.120 dapat didefinisikan matriks-matriks γ-Dirac dalam wakilan 97 standar kuaternionik γ ≡    1 −1    , ~γ ≡    1 −1 0    ~LR i . VI.122 Matriks-matriks di atas memenuhi kaitan γ µ γ ν + γ ν γ µ = −2η µν . VI.123 Begitu juga untuk matriks-matriks Dirac-Pauli β dan α n dapat didefinisikan sebagai β ≡ γ =    1 −1    dan α n =    0 1 1 0    L n R i . VI.124 Wakilan standar ini dapat diperoleh dari wakilan chiral dengan melakukan transformasi similar oleh S = 1 √ 2    1 1 1 −1    ; S −1 = 1 √ 2    1 1 1 −1    . VI.125 Kemudian untuk melengkapi, bentuk transformasi Lorentz dalam wakilan stan- dar diberikan oleh S~θ, ~ϕ = 1 2    ˜ s + + ˜ s − ˜ s + ˜ s − ˜ s + − ˜s − ˜ s + + ˜ s −    , VI.126 yang diperoleh dengan menerapkan transformasi similar pada pers.VI.91, dengan ˜ s + dan ˜ s − masing-masing diberikan pada pers.VI.89 dan VI.90. 98

VI.3 Penyelesaian Persamaan Dirac untuk Partikel Bebas