47
Himpunan semua O seperti pada pers.IV.15 akan dinyatakan sebagai H
L
⊗ C
R
. Kemudian karena perkalian kuaternion bersifat asosiatif, maka
O
H
yang didefinisikan sebagai
O
H
= a
µ
L
µ
∈ H
L
, IV.17
merupakan operator yang linear kanan terhadap H di H karena berlaku
L
µ
q
1
q
2
= L
µ
q
1
q
2
, q
1
, q
2
∈ H. IV.18
Untuk definisi terakhir ini telah digunakan penyalahgunaan notasi karena H bukan merupakan lapangan. Dari sini dapat disimpulkan bahwa
H
L
⊂ H
L
⊗ C
R
⊂ H
L
⊗ R
R
. IV.19
Dengan menggunakan notasi operator halang O
R
, O
C
dan O
H
masing-masing dapat dinyatakan sebagai
O
R
= q + q
1
|i + q
2
|j + q
3
|k O
C
= q + q
1
|i O
H
= q IV.20
dengan q, q
, q
1
, q
2
, q
3
∈ H
R
.
IV.2 Operasi Konjugasi, Transpose dan Trace
Hasil kali langsung dua operator R-linear dari kanan
O
a R
= a
µν
M
µν
, dan
O
b R
= b
τ σ
M
τ σ
IV.21
48
diberikan oleh O
a R
O
b R
= a
µν
b
τ σ
L
µ
L
τ
⊗ R
σ
R
ν
. IV.22
Dengan cara yang sama secara langsung dapat diperoleh masing-masing perkalian dari operator-operator C-linear kanan dan H-linear kanan. Operasi konjugasi untuk
operator-operator kiri maupun kanan didefinisikan dengan mengubah tanda dari sat- uan imajiner kuaternion kiri maupun kanan secara serempak, yaitu
L
† µ
= L
µ
≡ −η
µν
L
ν
, R
† µ
= R
µ
≡ −η
µν
R
ν
, IV.23
dan O
† R
≡ a
µν
L
† µ
⊗ R
† ν
= a
µν
L
µ
⊗ R
ν
∈ H
L
⊗ H
R
. IV.24
Konjugat dari pers.IV.22 adalah O
a R
O
b R
†
= a
µν
b
τ σ
L
µ
L
τ
⊗ R
σ
R
ν †
= a
µν
b
τ σ
L
µ
L
τ †
⊗ R
σ
R
ν †
= a
µν
b
τ σ
L
† τ
L
† µ
⊗ R
† ν
R
† σ
= O
b R
†
O
a R
†
. IV.25
Kemudian dapat didefinisikan matriks n
×n yang berusurkan anggota-anggota H
L
⊗ H
R
. Namun demikian, operasi transpose di M Ln, R ataupun M Ln, C
M
T rs
= M
sr
IV.26
yang memenuhi M N
T
= N
T
M
T
IV.27
49
tidak dapat diterapkan secara langsung terhadap matriks-matriks bujursangkar beren- trikan kuaternion. Hal ini karena secara umum berlaku
M N
T
6= N
T
M
T
IV.28
untuk M dan N matriks-matriks n
× n berentrikan kuaternion. Oleh karena itu perlu didefinisikan suatu operasi transpose
t sedemikian rupa sehingga bentuk pers.IV.26 dan IV.27 berlaku untuk matriks-matriks kuaternionik bujursangkar. Untuk keper-
luan itu perlu didefinisikan operasi transpose t pada suatu kuaternion q = x
+ ix
1
+ jx
2
+ kx
3
yang dapat berupa salah satu dari ketiga bentuk berikut ini q
t
≡ x − ix
1
+ jx
2
+ kx
3
= −iq
†
i q
t
≡ x + ix
1
− jx
2
+ kx
3
= −jq
†
j q
t
≡ x + ix
1
+ jx
2
− kx
3
= −kq
†
k, IV.29
dengan q
†
= x − ix
1
− jx
2
− kx
3
. Untuk selanjutnya, akan dipilih bentuk kedua yakni
q
t
= x + ix
1
− jx
2
+ kx
3
= −jq
†
j. Dari definisi ini, berlaku
qp
t
= p
t
q
t
IV.30
dan i
t
= i, j
t
= −j, k
t
= k. IV.31
Dari sini, operasi transpose t terhadap matriks kuaternion diberikan oleh
M
t rs
≡ M
sr t
IV.32
50
atau ekivalen dengan M
t
= −jM
†
j IV.33
dengan M
†
didefinisikan secara standar sebagai
M
† rs
= M
sr †
. IV.34
Operasi transpose t memenuhi
M N
t
= −jMN
†
j = −jN
†
M
†
j =
−jN
†
j −jM
†
j = N
t
M
t
. IV.35
Dengan melihat pada pers.IV.31, maka definisi operasi transpose t terhadap L
i
, L
j
, L
k
dan R
i
, R
j
, R
k
diberikan oleh
L
t i
= L
i
, L
t j
= −L
j
, L
t k
= L
k
⇒ L
t µ
= −L
j
L
t µ
L
j
R
t i
= R
i
, R
t j
= −R
j
, R
t k
= R
k
⇒ R
t µ
= −R
j
R
t µ
R
j
. IV.36
Kemudian operasi transpose t untuk operator
O
R
didefinisikan dengan melakukan transpose
t secara serentak pada setiap L
µ
dan R
ν
, yakni O
t R
= a
µν
L
t µ
⊗ R
t ν
= a
µν
−L
j
L
† µ
L
j
⊗ −R
j
R
† ν
R
j
= a
µν
L
j
R
j
L
† µ
R
† ν
R
j
L
j
= L
j
R
j
O
† R
R
j
L
j
. IV.37
Dengan demikian, transpose M
t
dari matriks n
× n M yang sekarang entrinya meru-
51
pakan unsur-unsur dari H
L
⊗ H
R
didefinisikan oleh
M
t rs
≡ M
sr t
∈ H
L
⊗ H
R
IV.38
atau ekivalen dengan
M
t
≡ L
j
R
j
M
†
R
j
L
j
= R
j
L
j
M
†
L
j
R
j
IV.39
dengan M
† rs
= M
† sr
∈ H
L
⊗ H
R
. IV.40
Dengan definisi ini, berlaku M N
t
= L
j
R
j
M N
†
R
j
L
j
= L
j
R
j
N
†
M
†
R
j
L
j
= L
j
R
j
N
†
R
j
L
j
L
j
R
j
M
†
R
j
L
j
= N
t
M
t
. IV.41
Untuk operator C-linear kanan, pers.IV.36 tersusutkan menjadi O
t C
= a
µn
L
t µ
⊗ R
t n
= a
µn
−L
j
L
† µ
L
j
⊗ R
n
= −a
µn
L
j
L
† µ
L
j
R
n
= −L
j
a
µn
L
† µ
R
n
L
j
= −L
j
O
† C
L
j
. IV.42
Untuk melengkapi kajian dalam bab ini, perlu didefinisikan operasi trace lacak yang tepat untuk matriks-matriks kuaternionik. Hal ini perlu dilakukan karena se-
cara umum trace dari perkalian dua bilangan tak komutatif tidak sama dengan trace
52
dari perkalian dua bilangan itu dalam urutan yang terbalik. Untuk operator C-linear kanan, didefinisikan trace kompleks ˜
Tr de Leo,1998 ˜
Tr O
C
= ˜ Tr a
µn
L
µ
⊗ R
n
≡ a
00
+ ia
01
IV.43
memenuhi ˜
Tr O
a C
O
b C
= ˜ Tr
O
b C
O
a C
. IV.44
Tetapi untuk operator R-linear kanan, perlu didefinisikan trace real Tr
Tr O
R
≡ a
00
IV.45
agar dipenuhi Tr
O
a R
O
b R
= Tr O
b R
O
a R
. IV.46
Hal ini perlu dilakukan karena operasi ˜ Tr yang diterapkan pada
O
R
secara umum akan memberikan
Tr O
a R
O
b R
6= TrO
b R
O
a R
. IV.47
Sebagai contoh, jika O
a R
= R
j
dan O
b R
= R
k
, diperoleh
˜ Tr
O
a R
O
b R
= ˜ TrR
j
R
k
= ˜ TrR
i
= −1
˜ Tr
O
b R
O
a R
= ˜ TrR
k
R
j
= + ˜ TrR
i
= +1.
BAB V PENYAJIAN TRK MENGGUNAKAN KUATERNION
Seperti dalam BAB 2, dalam bab ini juga akan dikaji TRK yang ditampilkan melalui grup-grup simetrinya namun dalam versi kuaternionik. Dalam hal ini ditinjau
transformasi rotasi terhadap masing-masing sumbu x, y dan z serta transformasi boost
sepanjang sumbu x, y dan z dalam grup-grup kuaternioniknya.
Ketika koordinat ruang-waktu suatu peristiwa dilambangkan dengan matriks kolom
4 × 1 real, maka grup simetrinya berupa O3, 1 yang berunsurkan matriks-
matriks 4
×4 real tertentu . Kemudian jika digunakan bilangan kompleks untuk meny- atakan koordinat ruang-waktu suatu peristiwa, maka koordinat ruang-waktu itu dil-
ambangkan dengan matriks bujursangkar 2
×2 kompleks dan grup simetrinya menjadi SL2, C yang berunsurkan matriks-matriks 2
× 2 kompleks tertentu. Jika sekarang digunakan kuaternion real, maka koordinat ruang-waktu suatu peristiwa cukup dil-
ambangkan oleh sebuah kuaternion real saja. Hal ini menyebabkan grup simetrinya berunsurkan matriks berukuran
1 × 1 yang berupa SL1, H
L
⊗ C
R
. Selain itu, dalam dunia kuaternion terdapat padanan dari grup
O3, 1 dan SO
O
3, 1, yang masing-masing berupa ˜
O1, H
L
⊗H
R
dan f SO
o
1, H
L
⊗H
R
serta metrik Minkowski yang terkait dengan grup itu diberikan oleh
g =
1 2
L
µ
R
µ
.
V.1 Grup