Operasi Konjugasi, Transpose dan Trace

47 Himpunan semua O seperti pada pers.IV.15 akan dinyatakan sebagai H L ⊗ C R . Kemudian karena perkalian kuaternion bersifat asosiatif, maka O H yang didefinisikan sebagai O H = a µ L µ ∈ H L , IV.17 merupakan operator yang linear kanan terhadap H di H karena berlaku L µ q 1 q 2 = L µ q 1 q 2 , q 1 , q 2 ∈ H. IV.18 Untuk definisi terakhir ini telah digunakan penyalahgunaan notasi karena H bukan merupakan lapangan. Dari sini dapat disimpulkan bahwa H L ⊂ H L ⊗ C R ⊂ H L ⊗ R R . IV.19 Dengan menggunakan notasi operator halang O R , O C dan O H masing-masing dapat dinyatakan sebagai O R = q + q 1 |i + q 2 |j + q 3 |k O C = q + q 1 |i O H = q IV.20 dengan q, q , q 1 , q 2 , q 3 ∈ H R .

IV.2 Operasi Konjugasi, Transpose dan Trace

Hasil kali langsung dua operator R-linear dari kanan O a R = a µν M µν , dan O b R = b τ σ M τ σ IV.21 48 diberikan oleh O a R O b R = a µν b τ σ L µ L τ ⊗ R σ R ν . IV.22 Dengan cara yang sama secara langsung dapat diperoleh masing-masing perkalian dari operator-operator C-linear kanan dan H-linear kanan. Operasi konjugasi untuk operator-operator kiri maupun kanan didefinisikan dengan mengubah tanda dari sat- uan imajiner kuaternion kiri maupun kanan secara serempak, yaitu L † µ = L µ ≡ −η µν L ν , R † µ = R µ ≡ −η µν R ν , IV.23 dan O † R ≡ a µν L † µ ⊗ R † ν = a µν L µ ⊗ R ν ∈ H L ⊗ H R . IV.24 Konjugat dari pers.IV.22 adalah O a R O b R † = a µν b τ σ L µ L τ ⊗ R σ R ν † = a µν b τ σ L µ L τ † ⊗ R σ R ν † = a µν b τ σ L † τ L † µ ⊗ R † ν R † σ = O b R † O a R † . IV.25 Kemudian dapat didefinisikan matriks n ×n yang berusurkan anggota-anggota H L ⊗ H R . Namun demikian, operasi transpose di M Ln, R ataupun M Ln, C M T rs = M sr IV.26 yang memenuhi M N T = N T M T IV.27 49 tidak dapat diterapkan secara langsung terhadap matriks-matriks bujursangkar beren- trikan kuaternion. Hal ini karena secara umum berlaku M N T 6= N T M T IV.28 untuk M dan N matriks-matriks n × n berentrikan kuaternion. Oleh karena itu perlu didefinisikan suatu operasi transpose t sedemikian rupa sehingga bentuk pers.IV.26 dan IV.27 berlaku untuk matriks-matriks kuaternionik bujursangkar. Untuk keper- luan itu perlu didefinisikan operasi transpose t pada suatu kuaternion q = x + ix 1 + jx 2 + kx 3 yang dapat berupa salah satu dari ketiga bentuk berikut ini q t ≡ x − ix 1 + jx 2 + kx 3 = −iq † i q t ≡ x + ix 1 − jx 2 + kx 3 = −jq † j q t ≡ x + ix 1 + jx 2 − kx 3 = −kq † k, IV.29 dengan q † = x − ix 1 − jx 2 − kx 3 . Untuk selanjutnya, akan dipilih bentuk kedua yakni q t = x + ix 1 − jx 2 + kx 3 = −jq † j. Dari definisi ini, berlaku qp t = p t q t IV.30 dan i t = i, j t = −j, k t = k. IV.31 Dari sini, operasi transpose t terhadap matriks kuaternion diberikan oleh M t rs ≡ M sr t IV.32 50 atau ekivalen dengan M t = −jM † j IV.33 dengan M † didefinisikan secara standar sebagai M † rs = M sr † . IV.34 Operasi transpose t memenuhi M N t = −jMN † j = −jN † M † j = −jN † j −jM † j = N t M t . IV.35 Dengan melihat pada pers.IV.31, maka definisi operasi transpose t terhadap L i , L j , L k dan R i , R j , R k diberikan oleh L t i = L i , L t j = −L j , L t k = L k ⇒ L t µ = −L j L t µ L j R t i = R i , R t j = −R j , R t k = R k ⇒ R t µ = −R j R t µ R j . IV.36 Kemudian operasi transpose t untuk operator O R didefinisikan dengan melakukan transpose t secara serentak pada setiap L µ dan R ν , yakni O t R = a µν L t µ ⊗ R t ν = a µν −L j L † µ L j ⊗ −R j R † ν R j = a µν L j R j L † µ R † ν R j L j = L j R j O † R R j L j . IV.37 Dengan demikian, transpose M t dari matriks n × n M yang sekarang entrinya meru- 51 pakan unsur-unsur dari H L ⊗ H R didefinisikan oleh M t rs ≡ M sr t ∈ H L ⊗ H R IV.38 atau ekivalen dengan M t ≡ L j R j M † R j L j = R j L j M † L j R j IV.39 dengan M † rs = M † sr ∈ H L ⊗ H R . IV.40 Dengan definisi ini, berlaku M N t = L j R j M N † R j L j = L j R j N † M † R j L j = L j R j N † R j L j L j R j M † R j L j = N t M t . IV.41 Untuk operator C-linear kanan, pers.IV.36 tersusutkan menjadi O t C = a µn L t µ ⊗ R t n = a µn −L j L † µ L j ⊗ R n = −a µn L j L † µ L j R n = −L j a µn L † µ R n L j = −L j O † C L j . IV.42 Untuk melengkapi kajian dalam bab ini, perlu didefinisikan operasi trace lacak yang tepat untuk matriks-matriks kuaternionik. Hal ini perlu dilakukan karena se- cara umum trace dari perkalian dua bilangan tak komutatif tidak sama dengan trace 52 dari perkalian dua bilangan itu dalam urutan yang terbalik. Untuk operator C-linear kanan, didefinisikan trace kompleks ˜ Tr de Leo,1998 ˜ Tr O C = ˜ Tr a µn L µ ⊗ R n ≡ a 00 + ia 01 IV.43 memenuhi ˜ Tr O a C O b C = ˜ Tr O b C O a C . IV.44 Tetapi untuk operator R-linear kanan, perlu didefinisikan trace real Tr Tr O R ≡ a 00 IV.45 agar dipenuhi Tr O a R O b R = Tr O b R O a R . IV.46 Hal ini perlu dilakukan karena operasi ˜ Tr yang diterapkan pada O R secara umum akan memberikan Tr O a R O b R 6= TrO b R O a R . IV.47 Sebagai contoh, jika O a R = R j dan O b R = R k , diperoleh ˜ Tr O a R O b R = ˜ TrR j R k = ˜ TrR i = −1 ˜ Tr O b R O a R = ˜ TrR k R j = + ˜ TrR i = +1. BAB V PENYAJIAN TRK MENGGUNAKAN KUATERNION Seperti dalam BAB 2, dalam bab ini juga akan dikaji TRK yang ditampilkan melalui grup-grup simetrinya namun dalam versi kuaternionik. Dalam hal ini ditinjau transformasi rotasi terhadap masing-masing sumbu x, y dan z serta transformasi boost sepanjang sumbu x, y dan z dalam grup-grup kuaternioniknya. Ketika koordinat ruang-waktu suatu peristiwa dilambangkan dengan matriks kolom 4 × 1 real, maka grup simetrinya berupa O3, 1 yang berunsurkan matriks- matriks 4 ×4 real tertentu . Kemudian jika digunakan bilangan kompleks untuk meny- atakan koordinat ruang-waktu suatu peristiwa, maka koordinat ruang-waktu itu dil- ambangkan dengan matriks bujursangkar 2 ×2 kompleks dan grup simetrinya menjadi SL2, C yang berunsurkan matriks-matriks 2 × 2 kompleks tertentu. Jika sekarang digunakan kuaternion real, maka koordinat ruang-waktu suatu peristiwa cukup dil- ambangkan oleh sebuah kuaternion real saja. Hal ini menyebabkan grup simetrinya berunsurkan matriks berukuran 1 × 1 yang berupa SL1, H L ⊗ C R . Selain itu, dalam dunia kuaternion terdapat padanan dari grup O3, 1 dan SO O 3, 1, yang masing-masing berupa ˜ O1, H L ⊗H R dan f SO o 1, H L ⊗H R serta metrik Minkowski yang terkait dengan grup itu diberikan oleh g = 1 2 L µ R µ .

V.1 Grup