Asas-Asas Teori Relativitas Khusus dan Transformasi Lorentz

BAB II TEORI RELATIVITAS KHUSUS

II.1 Asas-Asas Teori Relativitas Khusus dan Transformasi Lorentz

Teori relativitas khusus TRK dimunculkan oleh Einstein pada tahun 1905 1 dibangun di atas dua asas, yaitu 1. Semua kerangka inersial lembam sama baiknya untuk merumuskan hukum- hukum alam. 2. Cahaya memiliki kelajuan konstan sebesar c di semua kerangka acuan inersial. Asas yang dituliskan pertama di atas sering disebut sebagai asas relativitas atau asas kovariansi keseragaman bentuk bagi semua kerangka inersial, sedangkan asas yang dituliskan kedua terkait dengan invariansi kelajuan cahaya. 2 Asas pertama dimak- sudkan untuk menegaskan bahwa tidak ada kerangka inersial yang istimewa di dalam TRK. Berbeda dengan elektrodinamika berbasiskan mekanika Newton, di dalam TRK persamaan-persamaan Maxwell berlaku untuk semua kerangka inersial. Asas ked- ua berimplikasi bahwa kelajuan cahaya tidak bergantung pada kelajuan sumbernya Friedman,1983. Kerangka acuan dimaksudkan sebagai suatu wadah yang digunakan untuk me- nentukan sistem koordinat Breithoupt,2001. Pemberian koordinat terhadap suatu peristiwa tidak hanya dikaitkan dengan pelabelan koordinat ruang tempat suatu peri- 1 Sebenarnya, di dalam makalahnya pada tahun itu, Einstein belum menamakannya sebagai teori relativitas khusus. 2 Baik asas relativitas maupun asas yang terkait dengan invariansi laju cahaya memiliki bentuk pernyataan yang beragam dalam berbagai buku mengenai teori relativitas atau teori ruang-waktu. Tetapi tidak semua varian bentuk masing-masing asas itu ekivalen satu dengan yang lainnya. Kajian mengenai varian bentuk masing-masing asas itu tidak termasuk dalam skripsi ini. 7 8 stiwa terjadi, melainkan juga dikaitkan dengan pelabelan waktu ketika peristiwa itu terjadi. Pelabelan koordinat ruang bergantung pada pusat koordinat ruang yang dip- ilih. Sedangkan pelabelan koordinat waktu suatu peristiwa di suatu lokasi diberikan oleh nilai yang ditunjukkan oleh jam yang terletak di sekitar lokasi peristiwa itu ter- jadi. Jadi dalam suatu kerangka acuan telah tersebar jam dimana-mana. Agar hasil pencatatan waktu oleh jam-jam yang berbeda lokasinya saling terkait, maka jam-jam itu harus saling sinkron satu dengan yang lainnya. Sehingga pemberian koordinat su- atu peristiwa dilakukan dengan melabelkan peristiwa itu dengan tiga koordinat ruang yang bergantung pada pemilihan pusat koordinat yang terkait dengan posisi peris- tiwa itu terjadi dan satu koordinat waktu saat peristiwa itu terjadi. Pengamat dalam suatu kerangka diidentikkan dengan suatu himpunan tak berhingga dari jam-jam pen- catat yang tersinkronkan satu terhadap lainnya yang terdistribusi di seluruh ruang Resnick,1968. Kerangka acuan disebut inersial jika benda yang tidak dipengaruhi oleh gaya luar akan teramati tetap diam atau bergerak dengan kecepatan konstan relatif terhadap pengamat yang diam di kerangka itu; bergantung pada kondisi awal gerakan benda. Dari sini, kerangka inersial dapat dibedakan secara eksperimen dengan kerangka yang dipercepat terhadap sembarang kerangka inersial. Kajian dalam TRK dibatasi pada penggunaan kerangka-kerangka acuan yang bersifat inersial saja, yaitu kerangka yang di dalamnya berlaku hukum kelembaman hukum Newton I yang tetap berlaku dalam teori relativistas. Asas kedua secara langsung berimplikasi bahwa keserentakan simultaneity yang diamati dengan menggunakan isyarat cahaya yang berkelajuan mutlak c dalam hampa tidak lagi menjadi sesuatu hal yang mutlak. Dalam mekanika Galileo-Newton, keserentakan merupakan hal yang mutlak, begitu juga dengan selang waktu antara dua buah peristiwa. Dengan adanya asas invariansi kecepatan cahaya ini, selain ke- 9 serentakan menjadi tidak mutlak, pengukuran selang waktu dua buah peristiwa juga dapat bergantung pada pengamat kerangka acuan. Asas relativitas bersama dengan asas invariansi laju cahaya digunakan untuk menurunkan bentuk transformasi yang mengaitkan perpindahan peninjauan berba- gai observabel fisika suatu peristiwa antar dua buah kerangka inersial. Dalam penu- runan transformasi itu, digunakan asumsi homogenitas dan isotropi ruang-waktu. Ho- mogenitas ruang-waktu memiliki arti bahwa hasil pengukuran panjang dan interval waktu antara dua peristiwa tidak bergantung pada dimana atau kapan interval itu ter- jadi. Hal ini berarti pula bahwa semua tempat atau lokasi dan saat kapanpun masing- masing memiliki prioritas yang sama dalam pengukuran panjang suatu benda dan pengukuran selang waktu dua buah peristiwa. Secara matematis, homogenitas ruang- waktu berakibat bahwa transformasi yang mengaitkan perpindahan peninjauan suatu peristiwa antara dua buah kerangka harus merupakan transformasi linear. Transfor- masi linear ini berakibat bahwa semua titik dalam himpunan ruang-waktu dapat di- gunakan sebagai pusat koordinat Resnick,1968. Sedangkan isotropi ruang berakibat bahwa ke arah manapun pengukuran di dalam ruang dilakukan, hasil yang diperoleh tidak bergantung pada arah pengukuran itu. Transformasi yang diperoleh dari kedua asas dalam TRK itu beserta asumsi homogenitas ruang-waktu dan isotropi ruang disebut sebagai transformasi Lorentz. 3 Untuk perpindahan peninjauan suatu peristiwa dari suatu kerangka inersial K t, x, y, z 4 ke kerangka inersial lain K ′ t ′ , x ′ , y ′ , z ′ yang bergerak relatif terhadap kerangka K sepanjang sumbu x di kerangka K dengan kelajuan sebesar V , diperoleh bentuk 3 Transformasi ini telah dimunculkan oleh H. A. Lorentz sebelum makalah TRK Einstein muncul. Namun demukian, Lorentz menafsirkan transformasi itu secara berbeda dengan tafsiran yang kini dilekatkan pada transformasi itu dalam TRK. 4 Penulisan K t, x, y, z dimaksudkan untuk menyatakan bahwa terhadap kerangka K, peristiwa- peristiwa yang teramati akan dicatat lokasinya dengan koordinat x, y, z dan waktunya dengan t. 10 transformasi Lorentz khusus 5 t ′ = t − V c 2 x q 1 − V 2 c 2 , x ′ = x − V t q 1 − V 2 c 2 , y ′ = y, z ′ = z. II.1 Dalam bentuk umumnya, transformasi Lorentz untuk koordinat waktu menjadi Mus- lim,1997 t ′ = Γt − ~ V · ~r c 2 , II.2 sedangkan untuk koordinat ruang menjadi Muslim,1997 r ′ k = ~r ′ · ˆ n = Γr k − V t = Γ~r · ˆ n − V t II.3 dan ~r ′ ⊥ = ~r ⊥ , II.4 dengan r k dan r ⊥ masing-masing merupakan komponen vektor ~r yang sejajar dan tegak lurus terhadap ~ V . Dalam hal ini tentunya ~r ⊥ , ~r, ~ V dan ~r k terletak dalam satu bidang yang sama. Penggabungan pers.II.3 dan II.4 menghasilkan bentuk ~r ′ = ~r + Γ − 1~r · ~ V ~ V V 2 − Γ ~ V t, II.5 5 Kata khusus dimaksudkan untuk menandakan bahwa transformasi ini hanya menampilkan ben- tuk matematis perpindahan peninjauan dari suatu kerangka inersial ke kerangka inersial lain yang bergerak relatif di sepanjang salah satu sumbu koordinat kerangka inersial pertama. Bentuk umum dari transformasi Lorentz menampilkan perpindahan peninjauan dari suatu kerangka inersial ke kerangka inersial lain dengan arah gerak relatifnya terhadap kerangka inersial pertama sembarang. 11 dengan komponen-komponen Cartesannya berbentuk x ′ = x + Γ − 1n 2 x x + n x n y y + n x n z z − ΓV n x t, y ′ = y + Γ − 1n y n z x + n 2 y y + n y n z z − ΓV n y t, z ′ = z + Γ − 1n z n x x + n z n y y + n 2 z z − ΓV n z t, II.6 dengan n x , n y , dan n z merupakan kompenen Cartesan vektor satuan ˆ n pada arah ~ V . Pengukuran panjang suatu benda yang rehat di suatu kerangka inersial K ′ da- pat dilakukan seperti lazimnya mengukur panjang suatu benda. Dalam hal ini, dapat dilakukan dengan langsung mengukur panjang benda yang rehat itu dengan menggu- nakan batang pengukur. Jika benda yang akan diukur rehat terhadap suatu kerangka inersial K ′ yang bergerak relatif dengan kecepatan konstan terhadap K, maka pe- ngukuran panjang di kerangka K dilakukan dengan konsep sebagai berikut. Ten- tukan dua buah titik ujung benda itu pada saat bersamaan menurut jam di kerangka K, kemudian dengan menggunakan batang pengukur, diukur jarak antara kedua titik tadi. Pengukuran di K dengan mengunakan konsep itu akan memberikan nilai seperti yang diperoleh melalui transformasi Lorentz yang terkait dengan perpindahan penin- jauan dari K ′ ke K jika koordinat waktu untuk kedua titik ujung benda itu dibuat sama. Jika kerangka K ′ bergerak relatif terhadap K sepanjang sumbu x dengan ke- cepatan relatif sebesar V , maka nilai pengukuran yang diperoleh dari pengukuran itu akan menunjukkan bahwa panjang dalam arah gerak benda yang diukur oleh kerang- ka K dimana benda itu teramati bergerak akan lebih pendek daripada panjang yang diukur di kerangka K ′ dimana benda itu rehat, sedangkan panjang dalam arah tegak lurus terhadap gerak benda tidak mengalami perbedaan nilai. Secara umum untuk sembarang arah gerak benda, panjang dalam arah sejajar terhadap arah gerak benda dari suatu benda yang bergerak dengan kecepatan konstan akan lebih pendek daripa- da ketika sedang dalam keadaan diam. Secara matematis, pemendekannya diberikan 12 oleh faktor Γ ≡ 1 q 1− V 2 c 2 dalam transformasi Lorentz yang terkait. Efek pemendekan panjang suatu benda itu dikenal dengan nama kontraksi Lorentz-Fitzgerald. Pan- jang benda yang diukur di kerangka K ′ dimana benda itu rehat disebut sebagai panjang sejati proper length dari benda itu. Dengan mengasumsikan bahwa semua besaran panjang dan waktu bernilai real, maka berlaku 0 V c sehingga Γ 1. Pengukuran selang waktu antara dua buah peristiwa yang dilakukan oleh berba- gai kerangka inersial dengan jam-jam sinkronnya masing-masing tidak akan mem- berikan hasil yang sama. Hal ini merupakan konsekuensi langsung dari bentuk trans- formasi Lorentz. Jika dua buah peristiwa terjadi pada suatu lokasi yang sama menurut suatu kerangka inersial, maka pengukuran selang waktu dengan menggunakan jam yang rehat di kerangka itu dan terletak di lokasi tempat peristiwa itu terjadi dise- but sebagai selang waktu sejati proper time interval. Untuk kerangka inersial lain yang mengamati kedua peristiwa itu tidak terjadi di satu lokasi yang sama, maka pengukuran selang waktu dua peristiwa itu akan lebih besar daripada selang waktu sejati. Efek ini dikenal dengan nama dilatasi waktu time dilation. Pengamatan se- lang waktu sejati ∆τ dan selang waktu lainnya ∆t terhadap dua peristiwa yang sama terkait oleh transformasi berikut ∆t = ∆τ q 1 − V 2 c 2 . II.7 Dalam pers.II.7, V menyatakan besarnya kecepatan relatif kerangka inersial yang mengamati ∆t terhadap kerangka inersial yang memiliki ∆τ .

II.2 Ruang Minkowski