Persamaan 2.34 disederhanakan menjadi: 2
2 2
2
= +
= ∇
dr V
d r
dr V
d V
2.35
2
C
Power Permukaan
Bawah Permukaan
1
C
Aliran arus Ekuipotensial
Gambar 2.4 Medan potensial dan arah arus dari sumber titik dibawah permukaan
Telford et al. 1990. Jika persamaan 2.35 dikalikan dengan
2
r dan dideferensialkan diperoleh:
2
r D
dr V
d =
2.36 Jika diintegralkan lagi, didapatkan:
H r
D V
+ −
= 2.37
dengan D dan H adalah konstanta integrasi. Ketika V = 0, maka ∞
= r
, sehingga diperoleh H = 0. Dalam hal ini arus listrik dari elektrode mengalir radial ke segala
arah melintasi permukaan bola sebesar: J
r I
2
4
π
= 2.38
Dengan mensubstitusikan persamaan 2.27 dan 2.36 ke dalam persamaan 2.38 didapatkan:
D dr
dV r
I
σ π
σ π
4 4
2
− =
− =
2.39 karena
ρ σ
1 =
, maka konstanta integrasi D dalam bola adalah:
π ρ
4 I
D −
= 2.40
Substitusi persamaan 2.39 ke dalam persamaan 2.38 Telford et al. 1990, didapatkan:
r I
V 1
4
π ρ
= 2.41a
atau I
V r
π ρ
4 =
2.41b
2.2.3 Satu Elektrode Arus di Permukaan
Apabila terdapat titik elektrode
1
C
terletak di permukaan bumi homogen isotropis dan udara di atasnya dianggap mempunyai konduktivitas nol, maka titik
elektrode tersebut terangkai dengan elektrode lain yang terletak jauh tak terhingga yaitu
2
C
, sehingga pengaruhnya dapat diabaikan, sebagaimana ditunjukkan pada gambar 2.5.
Aliran arus yang keluar dari titik sumber membentuk medan potensial dengan kontur ekuipotensial berbentuk setengah bola di bawah permukaan. Dengan tinjauan
terhadap permukaan setengah bola tersebut, maka arus yang mengalir melalui permukaan adalah:
D dr
dV r
J r
I
σ π
σ π
π
2 2
2
2 2
− =
− =
= 2.42
dengan konstanta integrasi D dalam setengah bola adalah:
π ρ
2 I
D −
= 2.43
Sehingga,
r I
V 1
2
=
π ρ
2.44a atau
I V
r
π ρ
2 =
2.44b Persamaan 2.44 merupakan persamaan ekuipotensial permukaan setengah bola yang
tertanam di bawah permukaan Suprianto, 2000: 11-12.
Gambar 2.5 Titik sumber arus di permukaan medium homogen Telford et al. 1990.
2.2.4 Dua Elektrode Arus di Permukaan Bumi
Apabila terdapat dua buah elektrode arus yang terpisah dengan jarak tertentu pada permukaan homogen isotropis yang tidak terlalu besar, potensial di setiap titik
dekat permukaan akan dipengaruhi oleh kedua elektrode arus tersebut Suprianto, 2000. Ekuipotensial yang dihasilkan dari kedua titik sumber ini bersifat lebih
komplek dibandingkan dengan sumber arus tunggal, akan tetapi pada daerah dekat sumber arus akan mendekati bola. Bila dibuat penampang melalui sumber
1
C
dan
2
C
maka terlihat pola distribusi bidang ekuipotensial sebagaimana ditunjukkan pada gambar 2.6.
Pada gambar 2.6 dapat dilihat bahwa arah aliran arus listrik selalu tegak lurus terhadap garis ekipotensialnya. Untuk medium berlapis-lapis mempunyai
C
2
Aliran arus Ekuipotensial
Permukaan Power
C
1
