diramalkan dengan tepat Setiawan, 1991. Sifat disifatif dari sistem ini juga dapat ditentukan dari nilai
F ∇
= q
l g
q −
= ∂
− −
∂ +
∂ ∂
ω θ
ω θ
ω sin
, atau nilai
F ∇
bernilai negatif.
Jika kondisi awal diubah sedikit,misalnya untuk θ
o
= 0; q=0.081; θ
o
= 3 rads maka akan diperoleh perbandingan grafik seperti gambar 2.12.
20 40
60 80
100 t
s 18
19 20
21
rad
Gambar 2.12. Perbandingan Grafik θ Vs t untuk kondisi awal q=0.08 dan
q=0.081
2.2.4. Pendulum Sederhana Nonlinier Teredam dan Terkendali
Setelah gerak nonlinier teredam tetapi tak terkendali, masalah yang muncul kemudian adalah bagaimana jika gerak pendulum nonlinier tersebut terkendali melalui pengaruh
luar. Dengan kehadiran pengaruh luar yang diberikan kepada sistem akan membuat sistem menjadi tak terprediksi.
Misalkan bahwa gaya luar yang bekerja pada sistem adalah persamaan 2.23 Ft = A cos
Ω
D
t 2.23
Dengan mensubstitusikan persamaan 2.23 ke persamaan 2.15 maka diperoleh persamaan 2.24.
θ
+
m b
θ
+
l g
sin θ =
ml t
A
D
Ω cos
2.24 Dengan permisalan q =
m b
,
2
Ω =
l g
, dan a = mg
A , maka persamaan 2.24 dapat
ditulis sebagai persamaan 2.25.
Universitas Sumatera Utara
θ
+q θ
+
2
Ω sin θ = a
2
Ω cos t
D
Ω 2.25
Persamaan 2.25 merupakan persamaan gerak untuk sistem pendulum nonlinier teredam dan terkendali. Gaya pengendali eksternal yang bekerja pada sistem ini dapat
diperoleh dengan menggunakan arus bolak-balik AC yang diberikan secara horizontal Pada sumbu x, jika massa, m berupa magnet yang dipasang secara
vertikal. Sistem seperti ini biasa digunakan misalnya pada lengan robot Hubbard, 2010.
Untuk sebuah sistem dinamis yang digambarkan melalui persamaan differensial orde dua, maka beberapa syarat penting yang harus dipenuhi, yaitu:
a. Sistem tersebut harus memiliki setidaknya tiga variabel dinamis.
b. Persamaan gerak harus memiliki suku nonlinier yang menggabungkan
beberapa variabel.
Dan persamaan 2.26 dapat dipecah menjadi beberapa persamaan differensial orde pertama, yaitu:
D D
D
dt t
d dt
d t
a q
dt d
Ω =
Ω =
Ω Ω
+ Ω
− −
= cos
sin
2 2
ω θ
θ ω
ω
2.26
Persamaan 2.26 merupakan suku nonlinier dari persamaan gerak sistem ini. Jadi, dengan nilai tertentu dari parameter-parameternya sistem ini akan menunjukkan gejala
chaos Baker et al, 1996.
Adapun kepentingan dibutuhkannya paling sedikit tiga variabel untuk menghasilkan tingkah laku chaos dapat dijelaskan berdasarkan gerak lintasan dalam
ruang fasa. Karena lintasan tidak dapat berubah drastis bila pertambahan nilai parameternya berlangsung secara infinitesimal, maka satu-satunya gambaran yang
dapat diterima adalah pecahnya orbit awal. Jika pecahnya orbit ini terjadi dalam sebuah bidang, maka setidaknya terdapat satu titik dimana lintasan memotong dirinya
sendiri, dan hal itu melanggar keunikan solusi. Karena itu, pecahnya orbit tanpa
Universitas Sumatera Utara
memotong dirinya sendiri hanya dapat terjadi pada ruang berdimensi tiga atau lebih Setiawan, 1991.
Sistem pendulum seperti ini banyak dimanfaatkan pada robot, peredam massa- tertala pada bangunan untuk mereduksi hempasan angin keras, dan peredam massa
pasif untuk beban gempa.
2.3. Metode Runge-Kutta
