Keadaan Kuasiperiodik Analisis Kualitatif Gejala Chaos Pada Gerak Pendulum Sederhana Nonlinier Teredam Dan Terkendali.

menandakan bahwa pendulum bersifat periodik, dengan keadaan akhirnya datang dengan keadaan awalnya. Gambar 4.6. Belahan Poincarè dengan a = 0.3, q = 0.4, 2 Ω = 1, D Ω = 3 2 pada kondisi awal ω = 0.8, dan θ = 0.8. Untuk dapat memperlihatkan jejak lintasan dalam kasus ini secara lebih jelas, maka dipergunakan belahan Poincarè. Dalam kasus periodik belahan Poincarè diberikan pada gambar 4.6. Berdasarkan gambar 4.5. telah diketahui bahwa lintasan dari pendulum sederhana adalah orbit tertutup, maka belahan Poincarè yang terbentuk hanya satu titik, artinya lintasan-lintasan pendulum sederhana hanya memotong bidang pada satu titik tetap. Hasil animasi untuk a = 0.3 juga menunjukkan bahwa pendulum sederhana pada awalnya berayun dengan sudut simpangan lebih dari 0.8 rad, tetapi kemudian mengalami osilasi harmonis pada sudut lebih kecil dari 0.8 rad, atau berdasarkan gambar 4.3, berada pada sudut simpangan 0.5 rad. Dan keadaan tersebut berlangsung terus-menerus hingga waktu tak berhingga.

4.2. Keadaan Kuasiperiodik

Keadaan Kuasiperiodik adalah keadaan dimana suatu sistem dinamis mengalami penggandaan perioda. Keadaan ini merupakan jalan ke arah terjadinya chaos, dimana Universitas Sumatera Utara chaos itu sendiri terjadi bila suatu sistem mengalami penggandaan perioda beberapa kali. Pada penelitian ini, keadaan kuasiperiodik tercapai pada a=1.23 untuk ω = 0.8, dan θ = 0.8, nilai q = 0.4, 2 Ω = 1, D Ω = 3 2 . Hal ini ditunjukkan pada gambar 4.7, 4.8, 4.9 dan 4.10. Gambar 4.7. Grafik θ Vs t dengan a = 1.23, q = 0.4, 2 Ω = 1, D Ω = 3 2 pada kondisi awal ω = 0.8, dan θ = 0.8. Hasil yang ditunjukkan pada gambar 4.7. memperlihatkan bahwa pendulum bergerak berlawanan arah awal pendulum dan mengalami gerakan yang tidak harmonik lagi. Pada grafik ini juga terlihat keadaan transien dari sistem terjadi pada 60 s pertama, selanjutnya posisi sudut bergerak berlawanan arah dengan dua daerah osilasi, yaitu pada rentang 60 s – 250 s dan pada rentang 250 s – 400 s, artinya lintasan tetap mengalami perulangan tetapi butuh waktu lebih lama untuk melihat perulangan tersebut, sehingga tampak lebih kompleks. Hal tersebut dikatakan sebagai penggandaan periode, namun sistem ini masih bersifat periodik. Jika keadaan awal diubah sedikit, yaitu θ menjadi 0.81, maka perbandingan plot posisi sudut vs waktu untuk θ 01 = 0.8 dan θ 02 = 0.81 menunjukkan bahwa kedua lintasan masih berjalan selaras, artinya sistem pada kondisi ini juga belum menunjukkan karakteristik kesensitifan terhadap kondisi awal. Hal ini ditunjukkan pada gambar 4.8. Universitas Sumatera Utara Gambar 4.8. Grafik θ Vs t dengan a = 1.23, q = 0.4, 2 Ω = 1, D Ω = 3 2 pada dua kondisi awal ω = 0.8, dan θ 01 = 0.8 dan θ 01 = 0.81 masih berjalan selaras. Gambar 4.9. Ruang fasa dengan a = 1.23, q = 0.4, 2 Ω = 1, D Ω = 3 2 pada kondisi awal ω = 0.8, dan θ = 0.8. Pada gambar 4.9. terlihat bahwa lintasan bergerak tidak lagi dengan lintasan tertutup. Lintasan pada keadaan transien tertarik ke satu titik pada ruang fasa, namun karena amplitudo gaya pengendali eksternal yang cukup besar maka energi yang diserap pendulum pun menjadi cukup besar, Energi ini selain mengantisipasi redaman Universitas Sumatera Utara juga menyebabkan perubahan keadaan yang drastis dari pendulum, hal ini menyebabkan pecahnya orbit awal. sehingga lintasan bergerak dengan dua periode yang berbeda, atau mengalami penggandaan periode. Gambar 4.10. Belahan Poincarè dengan a = 1.23, q = 0.4, 2 Ω = 1, D Ω = 3 2 pada kondisi awal ω = 0.8, dan θ = 0.8. Dari gambar 4.10. dapat dilihat bahwa titik potong yang terbentuk adalah dua titik tetap, artinya lintasan-lintasan gerak pendulum sederhana tidak hanya bergerak memotong bidang pada satu titik, tetapi juga memotong bidang pada titik koordinat lain pada beberapa waktu kemudian Dua periode. Untuk titik pada koordinat 0.5 , 1, mengindikasikan bahwa terdapat lintasan-lintasan yang memotong bidang tidak tepat pada titik tersebut. Hal ini terjadi karena adanya efek transien sistem seperti yang juga terlihat pada ruang fasa. Hasil animasi juga menunjukkan bahwa pendulum terus bergerak berlawanan arah awal posisi sudut pendulum. Hal sesuai dengan penjelasan tentang grafik θ vs t untuk a = 1.23.

4.3. Keadaan Chaos.