Penyelesaian dengan Metode Runge-Kutta Orde Empat Penentuan Ruang Fasa dan Belahan Poincarè

rads, hal ini dimaksudkan agar ω D Ω sehingga keadaan chaos dianalisis dengan jelas. Sedangkan nilai θ pada program terdiri dari dua, yaitu θ 01 dan θ 02. Hal ini dimaksudkan untuk melihat perbandingan gerak pendulum jika kondisi awalnya diubah sedikit 0.01 rad. Adapun nilai yang dipakai sebenarnya adalah pada θ = θ 01 = 0.8 rad. Selanjutnya ditentukan nilai koefisien redaman, q ω sehingga pendulum tidak teredam kritis Kembali ke keadaan seimbang tanpa osilasi, dalam penelitian ini ditentukan nilai q = 2 ω = 0.4. Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, bahwa penentuan parameter- parameter di atas dimaksdukan agar keadaan-keadaan periodik, kuasiperiodik, dan chaos pada sistem dapat dianalisis dengan jelas. Namun, sebagai perbandingan akan diteliti pula keadaan-keadaan sistem bila nilai koefisien redaman, q dan panjang tali, l juga divariasikan Hal ini diberikan pada subbab 4.4.

3.1.2. Penyelesaian dengan Metode Runge-Kutta Orde Empat

Persamaan 3.1. merupakan persamaan differensial biasa orde dua, untuk itu dalam menyelesaikanya dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde empat, persamaan 3.1. dimisalkan dengan persamaan 3.3. dan persamaan 3.4. ω θ = dt d 3.3 , , cos sin 2 2 ω θ θ ω ω t f t a q dt d D = Ω Ω + Ω − − = 3.4 Persamaan 3.2. dan persamaan 3.3. merupakan persamaan-persamaan simultan dengan f 1 t,θ,ω = ω dan f 2 t , θ,ω = ft, θ,ω. Dengan memberikan syarat awal θ pada persamaan 3.3 dan ω pada persamaan 3.4, maka akan diperoleh kecepatan anguler dan simpangan pada setiap saat. Dan untuk menyelesaikan persamaan 3.3. dan 3.4. digunakan langkah-langkah sebagai berikut: Universitas Sumatera Utara k 1n =f 1 t n , θ n , ω n l 1n =f 2 t n , θ n , ω n k 2n =f 1 t n + 2 1 h , θ n + 2 1 k 1 , ω n + 2 1 l 1 l 2n = f 2 t n + 2 1 h , θ n + 2 1 k 1 , ω n + 2 1 l 1 k 3n =f 1 t n + 2 1 h , θ n + 2 1 k 2 , ω n + 2 1 l 2 3.5 l 3n = f 2 t n + 2 1 h , θ n + 2 1 k 2 , ω n + 2 1 l 2 k 4n =f 1 t n +h, θ n +k 3 , ω n +l 3 l 4n =f 2 t n +h, θ n +k 3 , ω n +l 3 Setelah mendapatkan harga-harga k dan l pada persamaan 3.5. maka selanjutnya dihitung nilai-nilai θ dan ω. θ n+1 = θ n+ 6 1 h k 1n + 2k 2n + 2k 3n + k 4n 3.6 ω n+1 = ω n + 6 1 h l 1n + 2l 2n + 2l 3n + l 4n 3.7 Langkah-langkah pada persamaan 3.5 diulang sampai dengan t max yang diberikan.

3.1.3. Penentuan Ruang Fasa dan Belahan Poincarè

Seperti yang telah dijelaskan pada subbab 2.1.1.1. bahwa ruang fasa memiliki koordinat-koordinat yang mewakili variabel-variabel yang diperlukan untuk menentukan keadaan sistem pada saat tersebut. Dalam penelitian ini variabel-variabel yang digunakan sebagai analisis adalah kecepatan sudut, ωt, dan posisi sudut, θt, dan ruang fasanya berbentuk bidang. Jika hasil penyelesaian persamaan gerak pendulum yang diperoleh pada subbab 3.1.2 diplot antara kecepatan sudut dengan posisi sudut, maka hasil yang akan diperoleh yaitu lintasan bergerak sepanjang - ~ sampai + ~, hal ini secara matematika sudah benar. Tetapi secara fisika, lintasan hanya dapat bergerak antara – π sampai +π dengan garis penghubung yang berdekatan diabaikan. Berdasarkan hal ini, maka lintasan sistem yang akan dianalisis dipotong, sehingga lintasan yang tersisa hanya pada batas – π sampai +π dengan 150 langkah. Universitas Sumatera Utara Pada ruang fasa yang telah dijelaskan di atas, koordinat ωt, dan θt ditentukan pada t= 0, Δt, 2 Δt, 3 Δt, dan seterusnya, dengan Δt= T150, T adalah periode gaya pengendali eksternal dengan nilai, T = D Ω π 2 . Agar dapat memperlihatkan karakteristik sistem dinamis dengan baik, maka jejak lintasan yang muncul harus ditampilkan dengan jelas. Untuk itu ditentukan belahan Poincarè, dengan memplot titik-titik potong lintasan pada bidang setiap t = mT m = 0,1,2,3,.... Dan dalam penelitian ini, titik pada dua langkah pertama dihilangkan untuk menghindari efek transien sistem. Dari hasil plot titik-titik tersebut, dapat ditentukan periodik atau tidaknya sistem. Jika lintasan-lintasannya yang berulang pada periode T, maka dapat dikatakan bahwa sistem tersebut periodik, sedangkan jika lintasannya tidak tepat berulang maka sistem tersebut dapat dikatakan tidak periodik.

3.2. Perancangan Program