Gambar 4.2. Hasil eksekusi program “Animasi Gerak Pendulum Sederhana Nonlinier” pada lampiran B.
4.1. Keadaan Periodik
Keadaan periodik dari pendulum sederhana nonlinier teredam dan terkendali dengan ω
= 0.8, dan θ
= 0.8, nilai q = 0.4,
2
Ω = 1,
D
Ω =
3 2
tercapai untuk nilai a = 0.3, hal ini dianalisis dari grafik-grafik keluaran yang ditunjukkan pada gambar 4.3, 4.4, 4.5
dan 4.6.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 4.3. Grafik θ
Vs t dengan a = 0.3, q = 0.4,
2
Ω = 1,
D
Ω =
3 2
pada kondisi awal
ω = 0.8, dan
θ = 0.8.
Gambar 4.3. menunjukkan perilaku simpangan θ pada setiap saat t untuk
pemilihan amplitudo gaya pengendali eksternal yang kecil yaitu pada a = 0,3. Dalam kondisi ini terdapat dua daerah osilasi. Osilasi yang pertama terjadi pada rentang
waktu, 0-20 s, pada kondisi ini pengaruh redaman masih berpengaruh sehingga osilasi mengarah ke keadaan transien dengan amplitudonya mengalami penurunan secara
ekponensial. Pengaruh redaman ini selanjutnya dapat diantisipasi oleh gaya
pengendali eksternal sehingga pendulum mengalami osilasi yang kedua pada keadaan tunak, yaitu pada rentang waktu 20 s sampai waktu tak berhingga Osilasi harmonik
dengan frekuensi gaya pengendali eksternal,
D
Ω . Jika keadaan awal diubah sedikit, yaitu
θ menjadi 0.81, maka perbandingan plot posisi sudut vs waktu yang
ditunjukkan pada gambar 4.4 untuk θ
01
= 0.8 Hitam dan θ
02
= 0.81 Hijau menunjukkan bahwa grafik yang tampak hanya untuk
θ
02
= 0.81 karena kedua lintasan posisi sudut berjalan selaras, berarti sistem ini tidak sensitif terhadap kondisi awal.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 4.4. Grafik θ
Vs t dengan a = 0.3, q = 0.4,
2
Ω = 1,
D
Ω =
3 2
pada dua kondisi awal
ω = 0.8, dan
θ
01
= 0.8 dan θ
01
= 0.81 berjalan selaras.
Gambar 4.5. Ruang fasa dengan a = 0.3, q = 0.4,
2
Ω = 1,
D
Ω =
3 2
pada kondisi awal
ω = 0.8, dan
θ = 0.8.
Pada gambar 4.5. menunjukkan keadaan pendulum sederhana ditentukan oleh koordinat posisi-kecepatan sudut yang bergerak sepanjang suatu lintasan pada bidang
fasa sementara pendulum berayun. Karena adanya penurunan energi akibat redaman, lintasan pada keadaan transien terpilin ke pusat bidang. Namun, selanjutnya efek
redaman ini diantisipasi oleh energi yang diserap dari gaya pengendali eksternal sehingga keadaan menjadi tunak dengan bentuk lintasan tertutup. Lintasan tertutup ini
Universitas Sumatera Utara
menandakan bahwa pendulum bersifat periodik, dengan keadaan akhirnya datang dengan keadaan awalnya.
Gambar 4.6. Belahan Poincarè dengan a = 0.3, q = 0.4,
2
Ω = 1,
D
Ω =
3 2
pada kondisi awal
ω = 0.8, dan
θ = 0.8.
Untuk dapat memperlihatkan jejak lintasan dalam kasus ini secara lebih jelas, maka dipergunakan belahan Poincarè. Dalam kasus periodik belahan Poincarè
diberikan pada gambar 4.6. Berdasarkan gambar 4.5. telah diketahui bahwa lintasan dari pendulum sederhana adalah orbit tertutup, maka belahan Poincarè yang terbentuk
hanya satu titik, artinya lintasan-lintasan pendulum sederhana hanya memotong bidang pada satu titik tetap.
Hasil animasi untuk a = 0.3 juga menunjukkan bahwa pendulum sederhana pada awalnya berayun dengan sudut simpangan lebih dari 0.8 rad, tetapi kemudian
mengalami osilasi harmonis pada sudut lebih kecil dari 0.8 rad, atau berdasarkan gambar 4.3, berada pada sudut simpangan 0.5 rad. Dan keadaan tersebut berlangsung
terus-menerus hingga waktu tak berhingga.
4.2. Keadaan Kuasiperiodik
