0.5 1
1.5 2
t
s
-0.75 -0.5
-0.25 0.25
0.5 0.75
rad
Gambar 2.6. Perbandingan Grafik θ Vs t untuk θ
o
= π4 dan θ
o
= π3.5
Model pendulum ini tidak riil untuk dua hal penting, yaitu:
a. Sistem ini mengabaikan redaman yang mengakibatkan hilangnya gaya gerak
pendulum secara berangsur-angsur, misalnya gaya gesek dengan udara. Sedangkan gerak sistem mekanika yang riil akan memperlihatkan adanya
redaman jika tidak ada pengaruh gaya pengendali eksternal seperti yang telah dijelaskan pada subbab 2.2. Jadi, persamaan 2.17 telah gagal menjelaskan
aspek penting ini.
b. Semua sistem yang riil akan memiliki beberapa derajat ketidaklinieran, yang
menyebabkan adanya perilaku khusus pada sistem Thompson et al,1986.
2.2.2. Pendulum Sederhana Nonlinier
Gerak pendulum yang sudah dibicarakan pada subbab 2.2.1 masih dengan asumsi bahwa sin
θ ≈ θ yang memberikan hasil yang secara kualitatif benar. Tetapi, jika sudut simpangan pada pendulum sembarang atau tidak dibatasi dengan asumsi tersebut
maka persamaan dari pendulum adalah persamaan 2.16 yang merupakan persamaan nonlinier. Sedangkan periode untuk pendulum ini diberikan oleh persamaan 2.20.
+
+
+ =
... 2
1 sin
4 3
2 1
2 1
sin 2
1 1
4 2
2 2
2
θ θ
T T
2.20
Universitas Sumatera Utara
Penyelesaian persamaan 2.16 dapat dilakukan dengan metode Euler atau dengan Integral Eliptik. Persamaan ini juga dapat diselesaikan secara numerik dengan
bantuan komputer digital. Sebagai contoh diberikan grafik-grafik penyelesaian persamaan 2.16 untuk
θ
o
= 0 dan θ
= 1.95 rads dengan menggunakan Mathematica. Grafik
θ Vs t yang merupakan grafik simpangan pendulum ditunjukkan pada gambar
2.7.
20 40
60 80
100 t
s
-2 -1
1 2
rad
Gambar 2.7. Grafik θ Vs t untuk θ
o
= 0 dan θ = 1.95 rads.
Sedangkan grafik θ
Vs θ yang merupakan gambar fasa pendulum diberikan pada
gambar 2.8.
Gambar 2.8. Grafik
θ
Vs θ dari pendulum sederhana nonlinier merupakan
gambar fasa pendulum nonlinier
Dari gambar 2.7 dan 2.8 dapat terlihat bahwa pendulum juga tidak mengalami redaman sehingga gelombang yang dihasilkan berlangsung terus-menerus dengan
2
2
rad
-2 -1
1 2
θ
rad s
Universitas Sumatera Utara
amplitudo konstan dan perioda yang juga konstan. Dan dari persamaan 2.16 juga dapat ditentukan nilai
F ∇
= ω
θ θ
ω ∂
∂ +
∂ ∂
sin l
g = 0, maka sistem ini bersifat
konservatif. Jika kondisi awal diubah sedikit, yaitu
θ
= 1.9 rads, akan diperoleh perbandingan grafik
θ Vs t seperti gambar 2.9. Dari grafik ini, diketahui bahwa dengan perubahan kondisi awal yang kecil ini menghasilkan amplitudo yang berbeda,
dan karena perbedaan amplitudo ini maka akan dihasilkan sedikit perbedaan perioda juga, tetapi perbedaan gelombang ini juga bersifat periodik Thompson et al,1986.
20 40
60 80
100 t
s
-2 -1
1 2
rad
Gambar 2.9. Perbandingan Grafik θ Vs t untuk
θ
o
= 1.95 rads dan
θ
o
= 1.9 rads
2.2.3. Pendulum Sederhana Nonlinier Teredam
