amplitudo konstan dan perioda yang juga konstan. Dan dari persamaan 2.16 juga dapat ditentukan nilai
F ∇
= ω
θ θ
ω ∂
∂ +
∂ ∂
sin l
g = 0, maka sistem ini bersifat
konservatif. Jika kondisi awal diubah sedikit, yaitu
θ
= 1.9 rads, akan diperoleh perbandingan grafik
θ Vs t seperti gambar 2.9. Dari grafik ini, diketahui bahwa dengan perubahan kondisi awal yang kecil ini menghasilkan amplitudo yang berbeda,
dan karena perbedaan amplitudo ini maka akan dihasilkan sedikit perbedaan perioda juga, tetapi perbedaan gelombang ini juga bersifat periodik Thompson et al,1986.
20 40
60 80
100 t
s
-2 -1
1 2
rad
Gambar 2.9. Perbandingan Grafik θ Vs t untuk
θ
o
= 1.95 rads dan
θ
o
= 1.9 rads
2.2.3. Pendulum Sederhana Nonlinier Teredam
Pada Subbab 2.2.2 telah diberikan penjelasan mengenai gerak pendulum sederhana nonlinier dengan mengabaikan efek redaman. Untuk gerak pendulum sederhana
nonlinier teredam, persamaan geraknya adalah persamaan 2.15. dengan Ft = 0, atau persamaan 2.21.
θ
+
m b
θ
+
l g
sin θ = 0
2.21 Dengan membuat pemisalan q =
m b
dan
l g
= Ω
2
maka persamaan 2.21 menjadi persamaan 2.22.
θ
+ q θ
+
2
Ω sin θ = 0 2.22
Universitas Sumatera Utara
Penyelesaian persamaan 2.22 dapat dilakukan dengan menggunakan metode numerik seperti yang telah disebutkan pada subbab 2.2.2 atau dengan bantuan
komputer digital. Sebagai contoh diberikan grafik-grafik hasil penyelesaian persamaan 2.22 dengan menggunakan Mathematica. Grafik
θ Vs t untuk kondisi awal θ
o
= 0; q=0.08; θ
o
= 3 rads ditunjukkan pada gambar 2.10.
20 40
60 80
100 t
s
18 19
20 21
rad
Gambar 2.10. Grafik θ Vs t untuk kondisi awal θ
o
= 0; q=0.08;
θ
o
= 3 rads.
Dari gambar 2.10 ini dapat terlihat bahwa amplitudo berkurang secara lambat terhadap waktu, penurunan amplitudo ini merupakan penuruan eksponensial. Bila redaman
kecil, pendulum berosilasi dengan frekuensi sudut mendekati frekuensi tak teredam. Sedangkan grafik
θ
Vs θ diberikan pada gambar 2.11.
2
3
4
rad -1
1 2
3
rad
s
Gambar 2.11.Grafik
θ
Vs θ untuk pendulum nonlinier teredam dengan orbit
yang berpilin menuju satu titik.
Dari gambar 2.11 dapat terlihat bahwa lintasan pendulum berpilin ke dalam satu titik. Titik tersebut tetap dan tidak bergerak, dan karena titik-titik itu menarik orbit-orbit
yang berdekatan dengannya, maka titik ini disebut penarik Attractor. Seperti yang kita ketahui bahwa setiap sistem yang akan diam seiring berjalannya waktu dapat
dicirikan sebagai titik tetap dalam ruang fasa, orbit sistem ini akan tertarik ke dimensi yang lebih rendah, daerah ini juga disebut attractor. Penarik pada kasus ini merupakan
penarik yang bukan chaos karena dapat diperkirakan dan tingkah lakunya dapat
Universitas Sumatera Utara
diramalkan dengan tepat Setiawan, 1991. Sifat disifatif dari sistem ini juga dapat ditentukan dari nilai
F ∇
= q
l g
q −
= ∂
− −
∂ +
∂ ∂
ω θ
ω θ
ω sin
, atau nilai
F ∇
bernilai negatif.
Jika kondisi awal diubah sedikit,misalnya untuk θ
o
= 0; q=0.081; θ
o
= 3 rads maka akan diperoleh perbandingan grafik seperti gambar 2.12.
20 40
60 80
100 t
s 18
19 20
21
rad
Gambar 2.12. Perbandingan Grafik θ Vs t untuk kondisi awal q=0.08 dan
q=0.081
2.2.4. Pendulum Sederhana Nonlinier Teredam dan Terkendali
