P , P
1
, P
2,
…. Titik-titik ini merupakan belahan Poincaré dari Г pada bidang S Berge
et al, 1984.
Po P1
P2 S
Г
X3
h X2
X1
Gambar 2.2. Ilustrasi Belahan Poincaré. Lintasan fasa Г memotong bidang S
Dengan
3
x 0 pada titik-titik yang berurutan P , P
1
, P
2,
…. Titik-titik ini merupakan Belahan Poincaré dari
Г pada bidang S.
Sistem chaos selain memiliki gerakan yang bersifat deterministik Jika diberikan suatu keadaan awal yang telah diketahui sebelumnya, maka gerakannya
yang akan datang dapat diuraikan secara tepat dengan menggunakan perhitungan matematika, juga bersifat tak periodik Gerakannya tidak pernah berulang secara
tepat. Dalam kasus pendulum sederhana, jika gerakannya bersifat tak periodik chaos maka akan terbentuk titik-titik tak berhingga pada ruang fasa. Hal ini yang
dianalisis dengan menggunakan Belahan Poincaré, yaitu menentukan perilaku sistem pendulum sederhana pada ruang fasa secara periodik.
2.1.1.3. Penggandaan Perioda
Perubahan kestabilan atau perubahan yang “dramatis” dalam dinamika suatu sistem akibat berubahnya nilai parameter dalam suatu sistem, dinamakan bifurkasi. Bifurkasi
ini tidak selalu berhubungan dengan kompleksitas, tetapi terdapat beberapa jenis bifurkasi yang senantiasa berhubungan dengan bertambahnya kerumitan suatu system
Universitas Sumatera Utara
yang pada akhirnya mengakibatkan kondisi chaos. Beberapa ahli dinamika nonlinier mengemukakan bahwa salah satu jenis bifurkasi yang terkenal adalah penggandaan
perioda period doubling, yakni suatu gerakan periodik yang mengalami bifurkasi dan “melontarkan” gerakan periodik lain yang periodenya dua kali lebih besar dari
periode semula. Kemudian masing-masing gerakan periodik itu mengalami bifurkasi lagi yang sama dan begitu proses seterusnya. Masing-masing gerakan periodik yang
terlontar biasanya tidak stabil, akibatnya pada suatu nilai parameter tertentu akan sangat banyak gerakan periodik yang tidak stabil dalam suatu sistem. Ketika hal ini
terjadi, dinamika sistem sudah sangat kompleks dan kondisi chaos terjadi lagi.
Untuk lebih jelasnya, ditinjau sebuah sistem dinamis yang diatur oleh satu set persamaan differensial, yaitu persamaan 2.5.
,..., m
x f
dt dX =
2.5 Dengan m merupakan sebuah parameter, sistem ini akan mengalami serangkaian
perubahan kualitatif ketika nilai parameter m divariasikan, perubahan ini terjadi sebelum sistem tersebut menunjukkan perilaku chaos.
Ketika nilai m dinaikkan, satu nilai Eigen dari sistem yang dilinierkan akan meninggalkan lintasan lingkaran, melewati nilai -1. Dan ketika nilai Eigen sama
dengan -1, sebuah orbit dengan perioda yang baru akan muncul, dimana perioda orbit ini dua kali lebih besar dari orbit awalnya. Jadi, ruang fasa akan terlihat seperti osilasi
yang periodik dengan bentuk yang berbeda dari lingkaran awal. Hal ini yang disebut dengan penggandaan perioda. Jika nilai m lebih dinaikkan maka akan terbentuk orbit
periodik yang baru terbentuk akan menjadi tidak stabil, dan penggandaan perioda berikutnya akan terjadi kembali. Dan hal inilah yang dikatakan bahwa sistem tersebut
mengalami keadaan chaos.
2.1.2. Chaos dan Pengaruhnya Dalam Sains
