f. Menganimasikan visualisasi pendulum.
Hasil visualisasi dianimasikan sesuai dengan penyelesaian persamaan gerak pendulum sederhana nonlinier teredam dan terkendali dengan menggunakan
fungsi Trigger pada bahasa pemrograman Mathematica Versi 6. Jika terdapat perbedaan yang kecil pada keadaan chaos, maka pendulum biru dan pendulum
hijau akan memiliki gerak yang berbeda.
3.2.2. Algoritma Program Bantu
Adapun algoritma program bantu yang digunakan dalam penyelesaian persamaan gerak pendulum dengan metode Runge-Kutta orde 4 adalah sebagai berikut:
INPUT a.
D
Ω = Frekuensi gaya pengendali eksternal b.
a = Variabel untuk memvariasikan amplitudo gaya pengendali eksternal c.
q = Variabel untuk merepresentasikan koefisien redaman d.
g = Percepatan gravitasi bumi e.
l = Panjang Tali Pendulum f.
θ
o
= Sudut awal pendulum θ pada t = 0 dalam program terdiri dari θ
01
dan θ
02.
g. ω
= Kecepatan sudut awal pendulum ω pada t = 0
h. p
= Waktu maksimum terjadinya osilasi pendulum
PROSES a.
Membaca data masukan berupa , frekuensi gaya pengendali eksternal, percepatan gravitasi bumi, panjang tali
pendulum, amplitudo gaya pengendali eksternal, koefisien redaman, waktu maksimum, dan syarat awal
persamaan gerak pendulum, θ
dan ω
0.
b. Menentukan koefisien-koefisien Runge-Kutta orde 4.
c. Menentukan orde yang digunakan pada metode Runge-Kutta.
Universitas Sumatera Utara
d. Menyelesaikan persamaan gerak pendulum nonlinier teredam dan terkendali
dengan metode Runge-Kutta orde 4 yang telah didefinisikan pada langkah point b.
e. Menentukan potongan lintasan pada rentang –
π sampai +π sebagai ruang fasa. f.
Menentukan titik-titik potong lintasan pada bidang setiap t = mT m = 0,1,2,3,... sebagai Belahan Poincarè.
OUTPUT a.
Hasil ditampilkan dengan menekan tombol Shift + Enter. b.
Mem-plot hasil penyelesaian, yaitu plot posisi sudut vs waktu. c.
Mem-plot kecepatan sudut vs posisi sudut ruang fasa. d.
Mem-plot belahan Poincaré. e.
Mem-plot hasil penyelesaian, yaitu plot posisi sudut vs waktu untuk θ
01
dan θ
02.
Sedangkan algoritma program bantu yang digunakan dalam animasi gerak pendulum adalah sebagai berikut:
INPUT a.
D
Ω = Frekuensi gaya pengendali eksternal b.
a = Variabel untuk memvariasikan amplitudo gaya pengendali eksternal c.
q = Variabel untuk merepresentasikan koefisien redaman d.
g = Percepatan gravitasi bumi e.
l = Panjang Tali Pendulum f.
θ
o
= Sudut awal pendulum θ pada t = 0 dengan satuan derajat dalam
program terdiri dari θ
01
dan θ
02.
g. ω
= Kecepatan sudut awal pendulum ω pada t = 0 dengan satuan rads
PROSES a.
Membaca data masukan berupa frekuensi gaya pengendali eksternal, percepatan gravitasi bumi, panjang tali pendulum, amplitudo gaya pengendali
eksternal, koefisien redaman, dan syarat awal persamaan gerak pendulum, θ
θ
01
dan θ
02
dan ω
0.
Universitas Sumatera Utara
b. Menkonversi nilai sudut awal ke dalam radian.
c. Menyelesaikan persamaan gerak pendulum nonlinier teredam dan terkendali
dengan fungsi NDSolve. d.
Menentukan komponen tangensial dan radial dari pendulum. e.
Memvisualisasikan pendulum sederhana dengan fungsi Graphics berdasarkan komponen tangensial dan radial.
f. Menganimasikan visualisasi pendulum dengan fungsi Trigger.
OUTPUT a.
Hasil ditampilkan dengan menekan tombol Shift + Enter. b.
Menampilkan hasil visualisasi pendulum sederhana. c.
Menganimasikan visualisasi pendulum sederhana dengan menekan tombol “Animasi” pada hasil eksekusi program.
Universitas Sumatera Utara
BAB 4
HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil eksekusi program simulasi pada Lampiran A adalah berupa grafik-grafik keluaran dari penyelesaian persamaan gerak pendulum sederhana nonlinier teredam
dan terkendali dengan metode Runge-Kutta orde 4 yang terintegrasi pada suatu tampilan GUI seperti yang ditunjukkan pada gambar 4.1. Tampilan grafik pada hasil
eksekusi program tersebut dapat diganti dengan mengubah menu “Tampilan” yang berbentuk Pop Up Menu. Grafik-grafik keluaran tersebut meliputi Grafik Simpangan
Plot posisi sudut vs waktu , ruang fasa Plot kecepatan sudut vs posisi sudut , dan belahan Poincarè. Ketiga grafik keluaran ini digunakan untuk menganalisis perilaku
sistem pendulum sederhana nonlinier, yaitu periodik, kuasiperiodik, atau chaos secara kualitatif. Analisis kualitatif tersebut diperkuat oleh perbandingan plot posisi sudut vs
waktu yang menunjukkan sensitivitas sistem terhadap kondisi awal dan menunjukkan karakteristik chaos deterministik dalam sistem, yaitu perubahan yang kecil pada
kondisi awal dapat menyebabkan perubahan besar dan tak terprediksi untuk sistem chaos.
Pada gambar 4.1. dapat dilihat bahwa nilai – nilai dari ω
0,
θ
0,
l, q, dan a dapat divariasikan, tetapi dalam analisis gejala chaos nilai yang dipakai pada subbab 4.1,
4.2, dan 4.3 adalah ω
= 0.8, dan θ
= 0.8, nilai q = 0.4,
2
Ω = 1,
D
Ω = 3
2 dengan
memvariasikan nilai dari amplitudo gaya eksternal yang direpresentasikan oleh a. Dan untuk melihat karakteristik sensitivitas terhadap kondisi awal, nilai
θ
02
dapat ditentukan sebesar 0.81. Namun, hasil pengujian program dengan beberapa variasi
parameter-parameter lainnya lebih lanjut diberikan pada subbab 4.4.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 4.1. Hasil eksekusi Program “Simulasi Gerak Pendulum Sederhana Nonlinier Teredam Dan Terkendali” pada Lampiran A
Sedangkan hasil eksekusi program animasi gerak pendulum sederhana nonlinier yang terdapat pada Lampiran B ditunjukkan pada gambar 4.2. Pada gambar
4.2 dapat dilihat bahwa nilai dari ω
0,
θ
0,
l, q, dan a, tetapi nilai yang dipakai dalam analisis pada subbab 4.1, 4.2, dan 4.3 adalah sama seperti yang telah disebutkan pada
paragraf sebelumnya. Visualisasi pendulum sederhana tersebut dapat dianimasikan dengan menggunakan menu “Animasi”.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 4.2. Hasil eksekusi program “Animasi Gerak Pendulum Sederhana Nonlinier” pada lampiran B.
4.1. Keadaan Periodik
