Keadaan Chaos. Analisis Kualitatif Gejala Chaos Pada Gerak Pendulum Sederhana Nonlinier Teredam Dan Terkendali.

juga menyebabkan perubahan keadaan yang drastis dari pendulum, hal ini menyebabkan pecahnya orbit awal. sehingga lintasan bergerak dengan dua periode yang berbeda, atau mengalami penggandaan periode. Gambar 4.10. Belahan Poincarè dengan a = 1.23, q = 0.4, 2 Ω = 1, D Ω = 3 2 pada kondisi awal ω = 0.8, dan θ = 0.8. Dari gambar 4.10. dapat dilihat bahwa titik potong yang terbentuk adalah dua titik tetap, artinya lintasan-lintasan gerak pendulum sederhana tidak hanya bergerak memotong bidang pada satu titik, tetapi juga memotong bidang pada titik koordinat lain pada beberapa waktu kemudian Dua periode. Untuk titik pada koordinat 0.5 , 1, mengindikasikan bahwa terdapat lintasan-lintasan yang memotong bidang tidak tepat pada titik tersebut. Hal ini terjadi karena adanya efek transien sistem seperti yang juga terlihat pada ruang fasa. Hasil animasi juga menunjukkan bahwa pendulum terus bergerak berlawanan arah awal posisi sudut pendulum. Hal sesuai dengan penjelasan tentang grafik θ vs t untuk a = 1.23.

4.3. Keadaan Chaos.

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya bahwa keadaan chaos terjadi bila suatu sistem mengalami penggandaan perioda beberapa kali. Pada penelitian ini kondisi Universitas Sumatera Utara chaos sudah tercapai pada a = 1.36 untuk ω = 0.8, dan θ = 0.8, nilai q = 0.4, 2 Ω = 1, D Ω = 3 2 . Hal ini ditunjukkan pada gambar 4.11, 4.12, 4.13 dan 4.14. Gambar 4.11. Grafik θ Vs t dengan a = 1.36, q = 0.4, 2 Ω = 1, D Ω = 3 2 pada kondisi awal ω = 0.8, dan θ = 0.8. Dari gambar 4.11. ini dapat dilihat bahwa gerak pendulum sederhana sudah tidak beraturan, terdapat lonjakan-lonjakan dan penurunan-penurunan posisi sudut dengan pola yang tidak beraturan atau dengan kata lain gerakannya tak pernah berulang dan terus-menerus melakukan gerakan yang berbeda. Hal ini dapat dijelaskan bahwa amplitudo gaya pengendali eksternal yang besar menyebabkan energi yang diserap pendulum menjadi besar, dan karena gaya yang diberikan adalah gaya yang berubah secara harmonis terhadap waktu nonlinier, maka keberlangsungan tak hingga penggandaan periode terjadi lagi dalam selang frekuensi yang lebih rapat dari keadaan kuasiperiodik. Dalam hal ini, langkah yang tak berhingga hanya menempuh suatu jarak berhingga sehingga periodenya menjadi tak berhingga. Hal inilah yang dikatakan sebagai keadaan chaos. Universitas Sumatera Utara Seperti yang telah dijelaskan pada subbab 2.1, bahwa kondisi chaos selain memiliki gerakan yang kompleks juga memiliki kesensitifan yang ekstrim terhadap kondisi awal. Hal ini ditunjukkan pada gambar 4.12, dimana terdapat dua keadaan awal yang berbeda sedikit yaitu senilai 0.01 yang pada awalnya bergerak selaras, namun pada 20 sekon kemudian kedua gerakan akan berubah dan menyebar makin jauh satu dengan yang lainnya. Menurut Walker 1991, hal: 460 hal ini dapat diandaikan seperti mengurai seutas tali menjadi dua helai individual. Sehingga dapat dikatakan bahwa sistem yang bersifat chaos menjadi tidak dapat diprediksi, karena dengan adanya gangguan sekecil apapun, gerakan sistem akan berubah jauh dari perkiraan awal. Gambar 4.12. Grafik θ Vs t dengan a = 1.36, q = 0.4, 2 Ω = 1, D Ω = 3 2 pada dua kondisi awal ω = 0.8, θ 01 = 0.8 Hitam dan ω = 0.8, θ 02 = 0.81 Hijau. Satu hal menarik lain yang dapat dituliskan disini adalah bahwa gerakan akhir dari sistem ini bergantung secara pasti pada bagaimana sistem dimulai atau bersifat deterministik. Oleh sebab itu keadaan seperti ini dikatakan sebagai chaos deterministik. Sebagai sistem yang bersifat deterministik, sistem ini dapat diprediksi untuk jangka waktu yang pendek, dan sebagai sistem yang bersifat chaos maka sistem ini menjadi tidak dapat diprediksi untuk jangka waktu panjang. Dan rentang waktu ini Universitas Sumatera Utara bergantung pada masing-masing sistem. Dalam gambar 4.12. terlihat bahwa prediksi untuk sistem pendulum sederhana ini dapat diketahui pada sekitar 20 sekon pertama. Gambar 4.13. Ruang fasa dengan a = 1.36, q = 0.4, 2 Ω = 1, D Ω = 3 2 pada kondisi awal ω = 0.8, dan θ = 0.8. Gambar 4.13 memperlihatkan lintasan-lintasan gerak pendulum sederhana yang sudah kompleks dengan memiliki banyak perioda. Berbeda dengan ruang fasa pada keadaan kuasiperiodik yang masih dapat ditinjau lintasan-lintasannya, Lintasan- lintasan pada ruang fasa ini menjadi sulit untuk diidentifikasi karena geometri lintasan yang kompleks. Geometri yang demikian ini dikatakan sebagai Chaotic Attractor atau sering disebut Strange Attractor karena bentuknya yang ganjil. Hal ini dapat dijelaskan bahwa energi yang besar dari gaya pengendali eksternal menyebabkan ketidaklinieran dari sistem dan menyebabkan lintasan pecah dan kemudian pecah lagi menjadi beberapa lintasan, begitu seterusnya. Namun, menurut Setiawan 1991, hal: 9 karena attractor ini memiliki ukuran yang berhingga maka lintasan-lintasan tersebut tidak dapat dipisahkan secara eksponensial, dan melipat ke arah dirinya sendiri, dan terbentuklah lipatan dalam lipatan, hal inilah yang membentuk geometri yang kompleks. Universitas Sumatera Utara Gambar 4.14. Belahan Poincarè dengan a = 1.36, q = 0.4, 2 Ω = 1, D Ω = 3 2 pada kondisi awal ω = 0.8, dan θ = 0.8. Lintasan-lintasan pendulum sederhana yang ditunjukkan pada gambar 4.13 diperjelas dengan belahan Poincarè pada gambar 4.14. Dapat dianalisis bahwa Lintasan-lintasan pendulum sederhana memotong bidang pada titik-titik yang jumlahnya sangat banyak dan membentuk suatu pola, dari hal ini dapat dikatakan bahwa periode sistem sangat banyak bahkan tak berhingga untuk waktu tak hingga. Dari gambar 4.14 juga dapat dijelaskan salah satu kunci untuk memahami tingkah laku chaos -sensitivitas terhadap kondisi awal- yaitu penjelasan mengenai operasi mengulur stretching dan melipat folding. Operasi mengulur terjadi antara 1 dan 2 , dan pada operasi ini menyebabkan membesarnya ketidakpastian skala kecil. Sedangkan operasi melipat terjadi antara 2 dan 3 , pada operasi ini menyebabkan pemisahan lintasan yang besar dan menghapus informasi skala besar. Operasi mengulur selanjutnya terjadi antara 3 dan 4 , dan begitu seterusnya sampai pada batas waktu yang diberikan. Setiawan 1991, hal: 12 mengatakan bahwa operasi-operasi ini menjadikan chaos berkelakuan meningkatkan fluktuasi mikroskopik menjadi makroskopik. Setelah interval waktu tertentu, ketidakpastian membesar dan sistem menjadi tak terprediksi. Universitas Sumatera Utara Hasil animasi juga menunjukkan gerakan pendulum sederhana yang berayun dengan tidak beraturan. Pendulum berputar hingga melewati titik maksimum, hal ini terjadi karena energi yang besar yang diserap pendulum dari gaya pengendali eksternal menyebabkan pendulum memiliki energi mekanik yang besar hingga dapat melewati titik maksimum. Namun, gerakan dari pendulum ini tak pernah berulang. Selain itu kecepatan pendulum juga tidak pernah mengalami keadaan tunak. Untuk dua kondisi awal yang hanya berbeda 0,01, yaitu θ 01 = 0.8 Pendulum Hitam dan θ 02 = 0.81 Pendulum Hijau pada t 20 sekon maka lintasan dua pendulum akan berubah jauh.

4.4. Perbandingan Keadaan Sistem Untuk Variasi Nilai Beberapa Parameter