74
Kegiatan Pembelajaran 3
LK 3.2
1. Pernyataan tunggal 2. Pernyataan majemuk
3. Pernyataan tunggal 4. Pernyataan majemuk
5. Pernyataan majemuk 6. Pernyataan tunggal
7. Pernyataan majemuk
LK 3.3.
1. 2 bukan bilangan prima 2. Tidak benar wrna pelangi terdiri dari 7 warna
3. 4 bukan bilangan ganjil
LK 3.4.
1. Pernyataan benar, pernyataan pertama salah dan pernyataan kedua benar 2. Pernyataan benar, pernyataan pertama dan pernyataan kedua salah
3. Pernyataan benar, pernyataan pertama salah dan pernyataan kedua benar 4. Pernyataan salah, pernyataan pertama benar dan pernyataan kedua salah
75
Matematika SMP KK A
LK 3.5.
Untuk menentukan suatu pernyataan majemuk merupakan tautologi atau kontradiksi, kita harus membuat table kebenaran terlebih dahulu. Selanjutnya kita
periksa apakah nilai kebenarannya bernilai benar semua, salah semua atau ada yang benar dan ada yang salah. Jika benar semua termasuk tautologi dan jika salah semua
termasuk kontradiksi. 1. Pernyataan majemuk
� ∧ � ⇒ � ∨ � merupakan tautologi. Coba Anda buktikan dengan mengisi tabel kebenaran di bawah ini.
� �
� � ∧ �
� ∨ � � ∧ � ⇒ � ∨ �
76
Kegiatan Pembelajaran 3
2. Pernyataan majemuk �˄�˄~�˄~� merupakan kontradiksi.
Coba Anda buktikan dengan mengisi table kebenaran di bawah ini.
� �
� ∧ � ~
� ~
� ~
� ∧ ~� � ∧ � ∧ ~� ∧ ~�
LK 3.6.
Ingat definisi konvers, inves, dan kontraposisi
77
Matematika
SMP KK B
Kegiatan Pembelajaran 4 Penarikan Kesimpulan
A. Tujuan
Setelah membaca, mencatat, berdiskusi, dan kegiatan lainnya Anda dapat menarik kesimpulan yang valid.
B. Indikator Pencapaian Kompetensi
1. Menentukan kesimpulan yang valid berdasarkan prinsip modus ponens. 2. Menentukan kesimpulan yang valid berdasarkan prinsip modus tolens.
3. Menentukan kesimpulan yang valid berdasarkan prinsip silogisme.
C. Uraian Materi
Seperti dikemukakan pada kegiatan sebelumnya, logika erat kaitannya dengan penarikan kesimpulan.
Perhatikan contoh-contoh di bawah ini:
Contoh 1:
Perhatikan dua pernyataan berikut 1. Premis diketahui
: � 1
2. Konklusi kesimpulan :
�
2
1 Dua pernyataan yang masing-masing disebut premis dan konklusi ini membentuk
suatu argumen. Baik tidaknya suatu argumen didasarkan kepada hasil analisis apakah konklusi memang dapat diturunkan secara logis dari premisnya.
78
Kegiatan Pembelajaran 4
Perhatikan proses pemerolehan konklusi dari premis berikut. Diketahui:
� 1 Maka:
� 0 Akibatnya, pertaksamaan
� 1 tidak akan berubah tandanya kalau masing-masing ruang dikalikan dengan
�, sehingga
�
2
� Karena
�
2
� dan � 1, dengan menggunakan hukum transitif dari relasi ketaksamaan, diperoleh
�
2
1. Dengan demikian, konklusi memang diperoleh secara logis dari premis dan tentu
saja menggunakan dalil-dalil atau fakta-fakta lain dalam matematika.
Contoh 2:
1. Premis
: �
2
adalah bilangan ganjil. 2.
Konklusi : � adalah bilangan ganjil
Baik tidaknya argumen ini tidak bisa dilakukan persis seperti Contoh 1. Pemrosesannya tidak dimulai dari dari premis ke konklusi, tetapi dari ingkaran
konklusi menuju ke ingkaran seperti berikut: Karena n tidak ganjil.
Artinya � adalah bilangan genap.
Karena itu � = 2� untuk suatu bilangan bulat �.
Akibatnya, �
2
= 2 �
2
= 22 �
2
Jadi �
2
adalah bilangan genap. Dua contoh di atas menunjukkan dua di antara beberapa jenis argumen yang
dianggap valid oleh para pakar logika dan matematika. Contoh 1 menggunakan kombinasi model argumen modus ponen dan model silogisma. Contoh dua
menggunakan kombinasi model argumen modus tollens dan model silogisma.
79
Matematika SMP KK A
Dengan demikian, ada beberapa model argumen yang diakui sebagai argumen yang valid, yaitu:
1. Modus ponen
2. Modus tollens
3. Silogisme
1. Modus Ponens � ⇒ �
� �
Contoh 1:
Premis 1: Jika � bilangan real, maka �
2
pasti tidak pernah negatif Premis 2: 10 adalah bilangan real
Konklusi: 10
2
tidak pernah negatif
Contoh 2:
Premis 1: jika � = 3, maka 2�
2
− 1 = 17 Premis 2:
� = 3 Konklusi: 2
�
2
− 1 = 17
2. Modus Tolens � ⇒ �
−� −�
Contoh1:
Premis 1: Jika �
2
= 9 maka � = ±3
Premis 2: � ≠ ±3
Konklusi: �
2
≠ 9
80
Kegiatan Pembelajaran 4
Contoh 2:
Premis 1: jika � = 3, maka 2�
2
− 1 = 17 Premis 2: 2
�
2
− 1 ≠ 17 Konklusi:
� ≠ 3 3.
Silogisme � ⇒ �
� ⇒ � � ⇒ �
Contoh 1:
Premis 1: Jika � 2 maka � 0
Premis 2: Jika � 0 maka �
2
Konklusi: Jika � 2 maka �
2
Contoh 2:
Premis 1: jika � = 3, maka 2�
2
− 1 = 17 Premis 2: Jika 2
�
2
− 1 = 17, maka 3� + 2 = 11 Konklusi: jika
� = 3 maka 3� + 2 = 11 Di dalam prakteknya, modus ponens, modus tolen, dan silogisme ini digunakan tidak
sesederhana yang dibayangkan. Modus ponens, modus tolen, dan silogisme ini sering kali digunakan secara kombinatif.
Berikut ada orang yang mengklaim bahwa jika � = �, maka 2 = 1 dengan bukti
sebagai berikut.
