57
Untuk memperoleh hasil analisis yang lengkap, permasalahan interaksi antara tanah dan struktur, harus memperhitungkan respon dari struktur pada saat teriadi
gempa yang pergerakannya bervariasi dari satu titik ke titik lainnya antara batuan dasar ke permukaan tanah. Permasalahan tersebut dalam analisis diidealisasi dengan
menganggap pergerakan tanah di sekitar struktur adalah akibat rambatan vertikal
gelombang badan body wave dari formasi tanah yang lebih kaku. Kontrol pergerakan control motion yang dispesifikasi untuk suatu titik di lapangan dapat
dijadikan acuan untuk menentukan pergerakan tanah pada suatu kedalaman, seperti pada perbatasan antara tanah dan batuan. Untuk keperluan tersebut dapat digunakan
teori amplifikasi. Pergerakan yang dihitung pada kedalaman tersebut digunakan sebagai data masukan input pergerakan tanah pada model sistem elemen hingga
antara tanah dengan struktur. Analisis dilakukan secara interaktif untuk memperoleh regangan yang sesuai
dengan karakteristik tanah yang non-linier melalui prosedur anlisis linier Seed dan Idriss, 1970. Prosedur ini dikenal juga dengan nama metode linier ekivalen
equivalent linier method. Untuk memperolah harga damping ratio yang diinginkan, dapat digunakan metode analisis respon kompleks.
2.10.1. Rambat gelombang satu dimensi
Selama berlangsungnya gempa, terjadinya perambatan gelombang sangat dipengaruhi oleh kondisi tanah setempat. Hampir semua peneliti mengambil asumsi
Universitas Sumatera Utara
58
bahwa respon utama yang terjadi disebabkan oleh perambatan gelombang geser dari batuan dasar base rock ke permukaan tanah. Salah satu teori rambatan gelombang
yang dipakai adalah teori rambatan gelombang geser harmonik satu dimensi. Teori ini dikemukakan pertama kali oleh Kanai 1951, dan dikembangkan lebih lanjut
oleh Schnabel, Lysmer, dan Seed 1972. Asumsi dasar yang digunakan dalam teori ini adalah :
1. Sistem tanah panjangnya tidak terbatas
2. Setiap lapisan pada sistem telah diketahui shear modulus-nya, damping ratio-
nya, density serta ketebalannya. 3.
Respon yang terjadi pada sistem disebabkan oleh rambatan gelombang geser yang berasal dari batuan dasar
4. Gelombang geser diberikan dalam bentuk percepatan dengan interval waktu yang
sama 5.
Tegangan yang terjadi tergantung kepada shear modulus dan damping ratio yang dihitung dengan prosedur persamaan linier mengacu pada harga rata-rata tingkat
tegangan di setiap lapisan. Rambatan vertikal gelombang geser di setiap lapisan tanah merupakan
rambatan gelombang yang menyebabkan perpindahan dalam arah horizontal saja. Pemodelan tersebut dapat ditulis dengan persamaan :
u = ux,t 2.33
Universitas Sumatera Utara
59
Yang harus memenuhi persamaan gelombang :
t x
u η
x u
G t
u ρ
2 3
2 2
2 2
∂ ∂
∂ +
∂ ∂
= ∂
∂ 2.34
dimana : u = perpindahan
ρ = massa jenis kepadatan media G = modulus
geser η = viskositas
media
2.10.2. Perpindahan harmonik
Perpindahan harmonik harmonic displacement dengan frekuensi ω dapat
ditulis dalam bentuk : ux,t = Ux . e
i ωt
2.35 Substitusi Persamaan 2.35 ke Persamaan 2.34 memberikan suatu persamaan
differensial berikut :
G + i ω η
2 2
x U
∂ ∂
= ρ ω
2
U 2.36
Yang mempunyai solusi umum : Ux = E . e
ikx
+ F . e
ikx
2.37
Universitas Sumatera Utara
60
Dengan k didefinisikan sebagai :
k
2
=
η ω
i G
ω ρ
2
+
=
G ω
ρ
2
2.38
k adalah bilangan complex wave, sedangkan G adalah modulus geser kompleks.
Viskositas η dapat dihasilkan dari perkalian damping kritis β dan G, yang
dirumuskan sebagai : η = 2 G . β 2.39
Pengujian pada beberapa material menunjukkan G dan β mendekati konstan
pada daerah frekuensi, yang menjadi hal pokok yang perlu diperhatikan dalam analisis. Ini akan mempermudah mengekspresikan modulus geser kompleks dalam
bentuk damping kritis yang konstan terhadap perubahan viskositas. G = G + i
ω η = G 1 + 2 . iβ 2.40
Persamaan 2.35 dan 2.37 memberikan solusi untuk persamaan gelombang harmonik terhadap frekuensi, yang dinyatakan sebagai :
Ux,t = E . e
ikx + ωt
+ F . e
-ikx - ω t
2.41 Bentuk pertama menyatakan perambatan gelombang searah dengan sumbu-x
negatif ke atas, dan bentuk kedua menyatakan pantulan gelombang yang menjalar searah sumbu-x positif ke bawah. Persamaan 2.40 berlaku untuk tiap-tiap lapisan
pada Gambar 2.15. Dengan memperkenalkan koordinat lokal sistem-x untuk tiap-tiap lapisan. Perpindahan pada bahagian atas dan bawah lapisan m adalah
Universitas Sumatera Utara
61
Um
x=0
= Em + Fm . e
i ωt
Um
x=hm
= Em . e
i km hm
+ Fm . e
i km hm
. e
i ωt
2.42 Tekanan geser pada sebuah permukaan horizontal adalah :
τx,t = G x
u ∂
∂ −
t x
u
2
∂ ∂
∂ − G
x u
∂ ∂
2.43
Dengan mensubstitusikan turunan pertama Persamaan 2.40 terhadap variabel x kedalam Persamaan 2.43, diperoleh :
τx,t = i k G E . e
ikx
+ F . e
ikx
. e 2.44
Tekanan geser pada bagian atas dan bawah lapisan m secara berturut-turut adalah : τm
x=0
= i km Gm Em + Fm . e
i ωt
2.45 τm
x=hm
= i km Gm Em . e
i kmhm
− Fm . e
i kmhm
. e
i ωt
2.46 Tegangan geser dan perpindahan displacement harus kontinu pada setiap
permukaan lapisan. Sehingga dengan Persamaan 2.42,2.45, dan 2.46 : zE
m+1
+ F
m+1
= E
m . e
i kmhm
+ F
m . e
−i k mhm
2.47 E
m+1
− F
m+1
=
m 1
m m
m
G k
G k
+
Em . e
i kmhm
+ Fm . e
−i kmhm
2.48
Dari pemisahan dan penjumlahan Persamaan 2.47 dan 2.48, diperoleh : E
m+1
= ½ Em 1+αm . e
i kmhm
+ Fm 1− αm . e
−i kmhm
2.49 E
m+1
= ½ Em1− αm . e
i kmhm
+ Fm 1+αm . e
i kmhm
2.50
Universitas Sumatera Utara
62
Dimana α
m
adalah complex impedence ratio yang tidak bergantung pada frekuensi, dan dapat ditulis sebagai :
α
m
=
1 m
1 m
m m
G k
G k
+ +
=
2 1
1 m
1 m
m m
G ρ
G ρ
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ +
2.51
Nomor Lapisan
Sistem Koordinat
Arah Pergerakan
X X
u1 u2
1
n
n + 1 X
un
X +1 u +1
n n
X +2 u +2
n n
X u
N N
N Particle motion
Incident wave Reflected wave
Sifat-sifat Lapisan
Gambar 2.95 Rambat Gelombang Sistem Satu Dimensi, Schanabel Et, al, 1972
Tegangan geser pada permukaan tanah sama dengan nol, sehingga jika τ
1
dan x
1
sama dengan nol, maka akan didapat E
1
= F
1
yaitu amplitudo insiden dan gelombang pantul yang selalu sama untuk setiap permukaan bebas. Mulai dengan
Universitas Sumatera Utara
63
permukaan bebas, secara berulang menggunakan formula rekursi recursion formula Persamaan 2.49 dan 2.50 berpengaruh pada hubungan antara amplitudo pada
lapisan m dan pada permukaan lapisan tersebut : E
m
= e
m
ω E
l
F
m
= f
m
ω F
1
Transfer fungsi e
m
dan f
m
akan lebih mudah untuk amplitudo E
l
dan E
2
= 1, dan dapat dihitung dengan mensubstitusikan kondisi ini kedalam rumus rekursi di
atas. Transfer fungsi lain lebih mudah diperoleh dari fungsi e
m
dan f
m
. Fungsi transfer A
n,m
antara perpindahan pada level n dan m didefinisikan sebagai :
A
n,m
ω = U
m
U
n
Dan dengan mensubstitusikan Persamaan 2.51, serta kedua fungsi transfer di atas akan diperoleh :
A
n,m
ω =
f f
n m
ω ω
ω ω
+ +
n m
e e
2.52
Berdasarkan pada persamaan ini dapat ditemukan fungsi transfer A ω antara
dua lapisan pada sistem. Sehingga jika gerakan diketahui pada suatu lapisan, maka gerakan pada lapisan lain dapat dihitung.
Amplitude E dan F kemudian dapat dihitung untuk setiap lapisan pada sistem, strain, perpindahan, dan percepatan diperoleh dari fungsi displacement :
Universitas Sumatera Utara
64
üx,t =
2 2
t δ
u δ
= − ω
2
E . e
ikx + ωt
+ F . e
-ikx - ω t
2.53
dan regangan dengan :
Y = δx
δu = i k E . e
ikx + ωt
+ F . e
-ikx - ω t
2.54
2.10.3. Pergerakan transien
