40
2.7.1. Model USGS McGuire, 1976
Teorema probabilitas total yang dikembangkan oleh McGuire tahun 1976 ini didasarkan atas konsep probabilitas yang dikembangkan oleh Cornell pada tahun
1968, dengan mengambil asumsi bahwa harga kekuatan gempa M dan jarak hiposenter R sebagai variabel acak bebas yang menerus continuous independent
random variable. Teori ini mempunyai bentuk persamaan sebagai berikut :
P [I ≥ i ] =
∫ ∫
r m
P [I
≥ i ⏐M dan R ] . f
M
. f
R
dm dr 2.7
dimana : f
M
= density function dari kekuatan gempa magnitude f
R
= density function dari jarak hiposenter P [I
≥ i ⏐M dan R ] = probabilitas berkondisi dari intensitas I ≥ intensitas i di suatu lokasi, dengan kekuatan gempa M dan jarak hiposenter R.
Metoda yang dikembangkan oleh beberapa peneliti, seperti Esteva 1970, Donovan 1974 dan McGuire 1974, untuk probabilitas berkondisi dengan
intensitas I, sama atau lebih besar dari itensitas i di suatu lokasi dengan kekuatan gempa M dan jarak hiposenter R, mempunyai bentuk umum sebagai berikut :
m M, R = C
1
+ C
2
M + C
3
ln R + r
o
2.8 dimana :
M = ukuran besar gempa R
= jarak hiposenter km
Universitas Sumatera Utara
41
C
1
, C
2
, C
3
, dan r
o
= konstanta Dengan menggunakan standar deviasi intensitas
σ
1
, distribusi normal dan Persamaan 2.8, maka intensitas probabilitas berkondisi dengan intensitas I sama
atau tebih besar dari i untuk suatu lokasi dengan kekuatan gempa M dan jarak hiposenter R, dapat dituliskan sebagai berikut :
P [I ≥ i ⏐M dan R ] = φ
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+
1 o
3 2
1
r R
ln C
- M
C -
C -
1
σ 2.9
dimana φ merupakan kumulatif komplementer complementary cummulative dari
distribusi normal standar. Tingkat kejadian rata-rata tahunan disebut juga sebagai resiko tahunan rata-
rata dari gempa yang mempunyai besaran magnitude sama dengan atau lebih besar dari M pada suatu daerah sumber gempa, mempunyai hubungan sebagai berikut
Gutenberg-Richter, 1958 : log nM = a
− b M 2.10
dimana : nM = tingkat kejadian tahunan rata-rata mean annual rate of exceedance
10
a
= tingkat kejadian tahunan untuk gempa dengan magnitude lebih besar dari 0 b
= konstanta yang menunjukkan kemungkinan relatif tentang besar kecilnya magnitude gempa yang terjadi
Universitas Sumatera Utara
42
Secara spesifik parameter b merupakan parameter seismisitasi yang menggambarkan karakteristik tektonik atau kegempaan suatu daerah. Sedangkan
parameter a adalah parameter seismisitasi yang tidak menggambarkan karakteristik kegempaan tetapi lebih merupakan parameter yang menerangkan karakteristik
data pengamatan. Konstanta a ini tergantung dari lamanya pengamatan dan tingkat seismisitasi dari daerah sumber gempa.
Untuk menentukan konstanta a dan b ini, dilakukan plot grafik yang menggambarkan hubungan antara. magnitude M dengan logaritma dari jumlah
gempa yang mempunyai magnitude lebih besar atau sama dengan M log nM. Selanjutnya analisis regresi linier dilakukan pada setiap titik yang diplot pada grafik
untuk mendapatkan nilai konstanta a dan b Gambar 2.11.
b 1
log nM = a - bM 10
a
log nM
M
Gambar 2.51
Penyebaran Magnitude Gempa pada Suatu Daerah
Secara grafis harga b dapat ditentukan dengan hubungan sebagai berikut : b =
dM nM
log d
2.11
Universitas Sumatera Utara
43
Jadi harga b merupakan perbandingan antara penurunan relatif tingkat kejadian gempa terhadap perbesaran magnitudenya. Secara umum dapat dikatakan bahwa
harga b yang besar menunjukkan tingkat aktivitas kegempaan yang tinggi. Persamaan 2.10 di atas dapat juga dinyatakan sebagai berikut:
nM = 10
a bM
= exp α − β M
2.12 dimana :
α = a ln 10 dan β = b ln 10 Untuk kepentingan rekayasa, besarnya magnitude gempa dibatasi dengan m
o
, dimana gempa-gempa dengan magnitude dibawah m
o
dianggap tidak menyebabkan kerusakan yang berarti. Oleh karena itu, tingkat kejadian rata-rata tahunan adalah :
nM = v . exp -
β m −
m
o
; m
o
m m
1
2.13 dimana : v = exp
α − β m
o
Dengan mengasumsikan besaran gempa dan sejumlah kejadian gempa tidak tergantung satu sama lain independent, maka dapat ditentukan distribusi kumulatif
dari tiap-tiap kejadian gempa sebagai berikut : F
M
m = P[M m ⏐M m
o
] =
nm m
n -
m n
o o
= 1 – e
- β m – m
o
2.14
Jika magnitude gempa yang diperhitungkan juga dibatasi oleh harga maksimum m
1
, maka distribusi kumulatif adalah :
Universitas Sumatera Utara
44
F
M
m = k 1 – exp - β m
− m
o
; m
o
m m
1
2.15 dimana :
β = b ln 10 k = [1 – exp -
β m −
m
o
]
-1
m
o
= batas minimum besaran gempa dari area sumber gempa m
1
= batas maksimum besaran gempa dari area sumber gempa Dari Persamaan 2.15 dapat diperoleh persamaan density function untuk
besaran gempa, dengan menurunkan persamaan tersebut terhadap m :
F
M
m =
m m
F
M
∂ ∂
= βk exp -β m
− m
o
; m
o
m m
1
2.16 Dengan mensubstitusikan Persamaan 2.9 dan 2.16 ke dalam Persamaan
2.7, dapat ditentukan probabilitas untuk intensitas I sama atau lebih besar dari intensitas i di suatu lokasi :
P [ I ≥ i] =
. r
R ln
C -
M C
- C
- i
r o
3 2
1 m
m
1 o
∫ ∫
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ σ
φ
βk exp -β m −
m
o
f
R
r dmdr 2.17
Integrasi Persamaan 2.17 dapat ditulis secara analitis hasil manipulasi aljabar oleh Cornell dan Merz, McGuire, sebagai berikut :
Universitas Sumatera Utara
45
P [I ≥ i] =
+ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ⎩
⎨ ⎧
+ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛
∫
z k
z k
- 1
1 r
1
σ φ
σ φ
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
+ +
+ +
2 2
2 1
2 o
2 1
2 C
C o
C 2
m C
C C
i -
exp r
R k
2 3
σ β
β β
β
β
.
dr r
f C
b -
z -
C b
- z
R 1
2 2
1 1
2 2
1
⎪ ⎪
⎭ ⎪
⎪ ⎬
⎫
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝ ⎛
σ σ
φ σ
σ φ
2.18
dengan : z = i – C
1
– C
2
m
1
– C
3
ln R + r
o
dan z’ = i – C
1
– C
2
m
o
– C
3
ln R + r
o
Maka probabilitas total tahunan dari kejadian-kejadian dengan intensitas I sama atau lebih besar dari i pada suatu lokasi adalah dengan menjumlahkan angka
kemungkinan seluruh area sumber gempa. Dalam bentuk matematis :
N
A
=
∑
=
n 1
i 1
N M ≥ m
o 1
P [ I ≥ i ]
2.19 dimana :
N
A
= tingkat kejadian tahunan total dari kejadian-kejadian dengan I i pada suatu lokasi.
P [I ≥ i]
= resiko kejadian tunggal untuk intensitas I yang sama atau lebih besar dari intensitas i di lokasi untuk satu daerah sumber gempa.
N
1
M ≥ m
o
= tingkat kejadian tahunan dari gempa yang mempunyai M ≥ m
o
untuk satu daerah sumber gempa.
Universitas Sumatera Utara
46
Besarnya nilai resiko tahunan untuk kejadian gempa tersebut diasumsikan terdistribusi dalam Distribusi Poisson sebagai berikut :
R
A
= 1 – e
-N
A
2.20
2.7.2. Model gumbel point sources
Kategori