Refleksi terhadap Garis y = b

Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi 182 C Rotasi Rotasi perputaran adalah suatu transformasi yang memindahkan suatu titik pada bangun geometri dengan memutar titik tersebut terhadap titik pusatnya. Untuk mudahnya, bayangkan suatu rotasi pada sebuah roda. Jika pada roda tersebut terdapat titik A, posisi titik A akan berpindah ketika roda tersebut diputar atau dirotasikan terhadap titik pusat roda tersebut. Artinya, titik A berpindah akibat putaran roda. Perhatikan gambar berikut. x 1 2 3 4 5 –1 –1 y 1 2 3 4 D A B C C y = 3 D B A 5 6 7 Evaluasi Materi 5.2 Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda. 1. Tentukan bayangan dari titik P2, 5 dan Q -4, 7 yang direleksikan terhadap a. sumbu-x b. sumbu-y 2. Tentukan bayangan dari titik A5, –3 dan B–6, 2 yang direleksikan terhadap a. garis y = x b. garis y = –x 3. Tentukan bayangan dari titik S2, 6 dan T–1, 5 yang direleksikan terhadap a. garis x = –4 b. garis y = 3 4. Diketahui koordinat-koordinat titik sudut segiempat ABCD adalah A0, 1, B6, 1, C8, 5, dan D2, 5 a. Tentukan bayangan dari titik-titik sudut tersebut jika titik tersebut direleksikan terhadap sumbu-y. b. Gambarkan segiempat tersebut dan bayangannya pada bidang koordinat Cartesius. gunakan kertas berpetak c. Tentukan luas segiempat ABCD. Kata Kunci • rotasi • pusat rotasi • sudut rotasi Gambar 5.21 Refleksi segiempat ABCD terhadap garis y = 3. 183 Transformasi Bidang Datar Gambar 5.22 a dan b menunjukkan suatu rotasi pada titik A pada roda terhadap pusat roda P. Arah rotasi dapat berlawanan dengan arah putaran jarum jam atau searah dengan arah putaran jarum jam. Jika arah rotasi berlawanan dengan arah jarum jam maka dinamakan arah positif +. Jika arah rotasi searah dengan arah jarum jam maka dinamakan arah negatif –. Besar sudut rotasi ฀adalah sudut yang terbentuk dari besarnya rotasi yang terjadi. Suatu rotasi R, terhadap pusat rotasi P dan sudut rotasi ฀฀dinotasikan dengan R [P, ]. Gambar 5.22 Posisi A dan bayangan A setelah berotasi roda sebelum diputar roda setelah diputar sejauh θ = 45 berlawanan arah dengan arah jarum jam roda setelah diputar setelah θ = 45 searah dengan arah jarum jam A Q P titik pusat roda A A P A O A P b a c Contoh Soal 5.18 Untuk membahas hasil pemasaran suatu produk selama 1 tahun yang dilakukan oleh 7 kantor cabang maka diadakan rapat yang dilakukan menggunakan meja bundar seperti gambar. Jika kursi A ditempati oleh direktur pemasaran kantor pusat, kemudian kursi B, C, D, E, F, F G, dan H ditempati oleh direktur pemasaran kantor cabang daerah B, C, D, E, F, F G, dan H. Selanjutnya, jika meja tersebut diputar dirotasikan dengan rotasi, R = [O, –90˚] tentukanlah pasangan nomor pada meja dengan huruf pada kursi yang terjadi sebagai hasil rotasi. Jawab: Rotasi yang dinyatakan oleh R = []090,0− berarti rotasi terhadap titik 0 sebesar 900 searah putaran jarum jam, perhatikan gambar berikut. Setelah meja diputar sejauh 900 searah jarum jam maka seluruh titik berputar bersama meja, pada ilustrasi di samping, diperlihatkan titik 1 yang mula-mula berpasangan dengan kursi A berputar sejauh 900 dan menyebabkan titik 1 berpasangan dengan kursi C, demikian juga titik 5 yang mula-mula berpasangan A B H G F E D C O 1 8 7 6 5 4 3 2 A G E C O 1 90˚ 90˚ 5 5 1 Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi 184 dengan kursi E berputar sejauh 900 dan menyebabkan titik 5 berpasangan dengan kursi G Setelah meja diputar sejauh 900, maka pasangan titik 1,2,3,4,5,6,7, dan 8 pada meja terhadap kursi A, B, C, D, E, F,G, dan H adalah sebagai berikut. A B H G F E D C O 7 6 5 4 3 2 1 8 Diperoleh, titik 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8 masing-masing berpasangan dengan kursi C, D, E, F, G, H, A, dan B.

1. Rotasi terhadap Titik Pusat O0, 0

Misalkan titik A pada roda dipindahkan pada bidang koordinat cartesius, maka koordinat titik A adalah x, y. Jika titik Ax, y dirotasikan terhadap titik pusat O0, 0 sejauh dan bayangan yang dihasilkan adalah Ax, y, dapatkah Anda tentukan koordinat x, y? Perhatikanlah Gambar 5.23 berikut. Ax, y x Ax, y y y y x x O Terdapat hubungan antara x dan y dengan x dan y dan sudut putaran , yaitu x = x cos ฀– y sin ฀ y = x sin ฀฀+ y cos ฀ Jika titik Ax, y dirotasikan terhadap titik pusat O0, 0 sejauh atau dinotasikan R [O, ] maka bayangan dari titik A adalah Ax, y, di mana x = x cos ฀– y sin ฀ dan y = x sin ฀฀+ y cos ฀ atau ditulis Ax, y A x cos ฀฀– y sin ฀, x sin ฀+ y cos Gambar 5.23 Titik Ax. y dirotasikan terhadap titik pusat O0, 0 sejauh θ berlawanan arah putaran jarumjam. 185 Transformasi Bidang Datar Contoh Soal 5.19 Tentukan bayangan dari titik P2, 1 jika dirotasikan terhadap: a. R [0, 30°] b. R [0. –30°] Jawab: Titik P2, 1 maka x = 2 dan y = 1. cos 30° = 1 2 3 , sin 30° = 1 2 , cos–30° = 1 2 3 , sin–30° = – 1 2 Bayangan titik P ditentukan dengan menggunakan persamaan transformasi R [O, ] x = x cos – y sin y = x sin + y cos a. R [O, 30°] diperoleh x = 2 cos 30° – sin 30° = 2 1 2 3 – 1 2 = 3 – 1 2 y = 2 sin 30° + cos 30° = 2 1 2 + 1 2 = 3 = 1 + 1 2 3 Jadi, bayangan dari titik P2, 1 yang dirotasikan sejauh 30° terhadap titik pusat O 0, 0 adalah P 3 1 2 1 1 2 3 , b. R [O, –30°] diperoleh x = 2 cos 30° – sin–30° = 2 1 2 3 – 1 2 = 3 1 2 + y = 2 sin–30° + cos–30° = 2 ฀ 1 2 + 1 2 3 = –1 + 1 2 3 Jadi, bayangan dari titik P2, 1 jika dirotasikan sejauh –30° terhadap titik pusat O 0,0 adalah P 3 1 2 1 1 2 3 + + 1 , . Persamaan x = x cos ฀– y sin ฀ dan y = x sin ฀+ y cos ฀ disebut persamaan transformasi rotasi terhadap titik pusat O0, 0 sejauh atau R [O, ]. Gambar 5.24 Ayunan adalah contoh tranformasi rotasi. Sumber : ndonetwork.co.id Rotasi terhadap titik pusat O0, 0 dapat pula dinyatakan dalam bentuk matriks. Perhatikan kembali persamaan transformasi rotasi berikut. x = x cos – y sin y = x sin ฀+ y cos Notes Matriks rotasi terhadap pusat O0, 0 adalah cos sin sin cos