Deret Geometri Pengertian Barisan
109
Barisan dan Deret Bilangan
Soal Pilihan
Jumlah penduduk sebuah kota setiap 10 tahun
menjadi 2 kali lipat. Menurut perhitungan, pada
tahun 2000 mencapai 3,2 juta orang. Tentukan
jumlah penduduk kota itu pada tahun 1950.
Sipenmaru, 1985
Penjumlahan beruntun suku-suku geometri merupakan deret geometri. Jadi, 3 + 9 + 27 + 81 merupakan deret geometri.
Pada deret geometri, jumlah n suku pertamanya dinyatakan sebagai berikut.
S
n
= a
r r
n
1 untuk r –1 atau r 1
S
n
= a
r 1
r
n
1 untuk –1 r 1
Dengan S
n
menyatakan jumlah n suku pertama. Jadi, jumlah 4 suku pertama barisan geometri 3, 9, 27, 81, … dapat dihitung
dengan rumus berikut.
S
n
= a
r r
n
1 di mana a = 3, r = 3, dan n = 3
sehingga S
4
= 3
3 1 3
1
4
S
4
= 3
2 81 1
S
4
= 3 80
2 8
8 S
4
= 240
2 S
4
= 120 36, 18, 9, 4
1 2
, …? Barisan geometri tersebut memiliki a = 36, r =
1 2
. Oleh karena –1 r 1 maka jumlah 6 suku pertama deret tersebut adalah sebagai berikut.
S
n
= a
r r
n
– –
1 1
S
6
= 36 1
1 2
1 1
2
6
S
6
= 36 1
1 64
1 2
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
110 Contoh Soal 3.11
Sebuah perusahaan home industry pada tahun 2007 mencatat keuntungan di bulan Januari sebesar Rp14.000.000,00. Oleh
karena kinerja perusahaan semakin baik, dan didukung ekonomi nasional yang semakin sehat maka di tahun tersebut keuntungan
perusahaan naik menjadi 1 1
2 kali lipat dari bulan sebelumnya.
Tentukanlah: a.
barisan geometri yang menyatakan keuntungan perusahaan tersebut setiap bulannya, mulai bulan januari 2007,
b. total keuntungan yang diraih perusahaan tersebut hingga bulan
Agustus. Jawab:
a. Keuntungan bulan Januari U
1
= 14.000.000 Keuntungan bulan Februari
U
2
= 1 1
2 × 14.000.000 =
3 2
× 7.000.000 = 21.000.000 Keuntungan bulan Maret
U
3
= 1 1
2 × 21.000.000 =
3 2
× 10.500.000 = 31500.000 Jadi, diperoleh barisan geometri sebagai berikut.
14.000.000, 21.000.000, 31.500.000, … b.
Total keuntungan yang diraih perusahaan hingga bulan Agustus merupakan jumlah 8 suku pertama barisan geometri pada soal
a. Barisan geometri tersebut memiliki a = 14.000.000, r = 1 1
2 .
Jadi, jumlah keuntungan perusahaan sampai bulan Agustus dihitung dengan rumus
S
n
= a
r r
n
1
Gambar 3.7
Total keuntungan yang diraih suatu perusahan dapat dihitung
menggunakan deret geometri
Sumber : www.suarantb.com
S
6
= 36 64
64 1
64 2
S
6
= 72 · 63
64 S
6
= 567
8 S
6
= 70 7
8
111
Barisan dan Deret Bilangan
Contoh Soal 3.12
Hasil penelitian gabungan Dinas Sosial dan Dinas Pendidikan Nasional dari tahun 2002 hingga tahun 2007 menunjukkan kecenderungan
minat membaca penduduk kecamatan Y selalu meningkat dari tahun ke tahun dengan kelipatan perbandingan yang tetap. Jika jumlah total
penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun 2002 dan tahun 2003 adalah 80 orang, dan jumlah total penduduk yang memiliki
minat membaca pada tahun 2002, 2003, 2004, dan 2005 besarnya 800 orang. Tentukanlah jumlah penduduk yang memiliki minat membaca
pada tahun 2007. Jawab:
Oleh karena minat membaca penduduk meningkat dengan kelipatan perbadingan yang tetap maka akan membentuk barisan geometri
dengan r 1 berikut.
U
1
, U
2
, U
3
, U
4
, U
5
, U
6
2002 2007
… …
Dari tahun ke tahun jumlah penduduk yang memiliki minat membaca selalu meningkat dengan perbandingan tetap maka r 1.
Jumlah total penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun 2002 ditambah tahun 2003 yang berjumlah 80 orang dapat dinyatakan
dengan persamaan berikut U
1
+ U
2
= 80 …1 Persamaan 1 merupakan hasil penjumlahan dua suku pertama dari
suatu deret geometri. Mengingat rumus hasil penjumlahan n suku pertama dari suatu deret geometri adalah S
a r
n
r r
2
1 1
maka hasil penjumlahan dua suku pertama dari suatu deret geometri dapat
dinyatakan dengan rumus S a
r
n
r r
2
1 1
, sehingga diperoleh persamaan berikut.
a r
r r
2
1 1
= 80 …2 diperoleh,
S
8
= 14 000 000
2 1 .
. 000
2 1
8
S
8
= 14 000 000
1 .
. 000
256 1 S
8
= 14.000.000 255 S
8
= 3.570.000.000 Jadi, keuntungan perusahaan home industry hingga bulan Agustus
adalah Rp3.570.000.000,00.
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
112
Jumlah total penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun 2002, 2003, 2004, dan 2005 adalah 800 orang dapat dinyatakan dengan
persamaan berikut. U
1
+ U
2
+ U
3
+ U
4
= 800 …3 Persamaan tersebut merupakan hasil penjumlahan empat suku
pertama dari suatu deret geometri, sehingga diperoleh persamaan S
a r r
4 4
1 1
berikut. a r
r
4
1 1
= 800 …4, Dari persamaan 2 dapat diperoleh persamaan 5 berikut.
a r r
2
1 1
= 80 a = 80
1 1
2
r r
…5 Persamaan 5 substitusi ke persamaan 4 sehingga diperoleh
perhitungan berikut. 80
1 1
1 1
2 4
2
r r
r r
= 800 80
1 1
4 2
r r
= 800 r
r
4 2
1 1
800 80
Dengan mengingat r
4 – 1
= r
2 – 1
r
2 + 1
, maka diperoleh perhitungan berikut.
r r
r
2 2
2
1 1
1 = 10
r
2
+ 1 = 10 r
2
= 10 – 1 r
2
= 9 r
= 9
maka diperoleh nilai rasio barisan geometri tersebut adalah r
1
= 3 atau r
2
= –3. Pada kasus permasalahan ini, nilai rasio barisan geometri tidak mungkin bernilai negatif maka nilai yang digunakan
adalah r = 3, substitusi nilai r ke persamaan 2 diperoleh a
3 1
3 1
2
= 80 a
9 1 3 1
= 80 a 8
2 = 80
a = 80 2
8 = 20
113
Barisan dan Deret Bilangan
Contoh Soal 3.13
Suku ke-nsuatu deret geometri adalah 4
-n
.Tentukan jumlah berhingga deret tersebut.
Jawab: U
n
= 4
–n
maka U
1
= a = 4
–1
= 1
4 r =
U U
2 1
= 4
4
2 1
= 4
–1
= 1
4 S =
a r
1 =
1 4
1 1
4 =
1 4
3 4
= 1
3 Jadi, jumlah tak berhingga deret tersebut adalah
1 3
.