Menemukan Konsep Himpunan Bagian

a. Menemukan Konsep Himpunan Bagian

Guru bertanya kepada siswa apakah kamu bagian dari siswa kelas VII SMP? Bagaimana dengan seluruh temannya satu kelas, apakah mereka juga bagian dari siswa kelas VII SMP? Untuk menemukan konsep himpunan bagian, selesaikanlah masalah berikut.

Masalah -1.7

Seluruh siswa kelas VII SMP Panca Karya berjumlah 40 orang. Jika A adalah himpunan siswa laki-laki yang terdiri 25 orang,

B adalah himpunan siswa perempuan, C adalah himpunan siswa laki-laki yang gemar olah raga bola kaki, D adalah himpunan siswa perempuan yang gemar menari, E adalah himpunan siswa yang bercita-cita jadi dokter, S adalah himpunan seluruh siswa kelas VII. Gambar 1.10. Kelas VII

SMP Panca Karya

(1) Apakah anggota-anggota himpunan A merupakan anggota himpunan S? (2) Apakah anggota-anggota himpunan B merupakan anggota S? (3) Apakah anggota-anggota himpunan C merupakan anggota A? (4) Apakah anggota-anggota himpunan C merupakan anggota himpunan S? (5) Apakah setiap anggota himpunan D merupakan

anggota himpunan B?

Matematika

Alternatif Penyelesaian

(1) Setiap siswa laki-laki merupakan anggota himpunan siswa kelas VII atau setiap anggota himpunan A merupakan himpunan S. Hal ini berarti juga bahwa siswa laki-laki merupakan bagian dari seluruh siswa kelas VII atau himpunan siswa laki-laki merupakan himpunan bagian dari himpunan siswa kelas VII.

(2) Setiap siswa perempuan merupakan anggota himpunan siswa kelas VII atau seluruh anggota himpunan B merupakan anggota himpunan S. Hal ini berarti

juga bahwa siswa perempuan bagian dari seluruh siswa kelas VII atau himpunan siswa perempuan merupakan himpunan bagian dari himpunan siswa kelas VII.

(3) Seluruh siswa laki-laki yang gemar olahraga bola kaki merupakan anggota himpunan siswa laki-laki atau seluruh anggota himpunan C merupakan anggota himpunan B. Hal ini berarti Himpunan C adalah bagian dari himpunan B.

(4) Seluruh siswa laki-laki yang gemar olahraga bola kaki merupakan anggota himpunan siswa kelas VII atau seluruh anggota himpunan C

ada di himpunan S. Hal ini berarti himpunan siswa laki-laki

yang gemar olahraga bola kaki merupakan himpunan bagian dari seluruh siswa kelas VII.

(5) Seluruh siswa perempuan yang gemar menari ada pada anggota himpunan siswa perempuan atau seluruh anggota himpunan

Gambar 1.12.

D merupakan himpunan B. Hal

Diagram Venn Himpunan A dan B

ini berarti juga bahwa siswa perempuan yang gemar menari bagian dari himpunan siswa perempuan atau himpunan siswa perempuan yang gemar menari merupakan himpunan bagian dari himpunan siswa perempuan kelas VII.

26 Buku Guru Kelas VII SMP/MTs

Contoh 1.7

Perhatikan Gambar 1.11 di samping!

1. Sebutkanlah anggota himpunan

A, B dan S!

2. Apakah seluruh anggota himpunan A ada di himpunan B?

3. Apakah seluruh anggota himpunan A ada di himpunan S?

4. Apakah seluruh anggota himpunan B ada di

Gambar 1.11.

himpunan A?

Diagram Venn Himpunan A dan B

Alternatif Penyelesaian

1. Anggota himpunan A, B dan S adalah:

A = {1, 3, 5, 7}

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

2. Memeriksa apakah seluruh anggota himpunan A ada di himpunan B. Untuk menunjukkan apakah setiap anggota himpunan A merupakan anggota

himpunan B , dapat kita tunjukkan melalui diagram Venn pada Gambar 1.11. Karena seluruh anggota himpunan A ada di himpunan B maka disebut bahwa

himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B.

3. Memeriksa apakah seluruh anggota himpunan A ada di himpunan S Untuk menunjukkan apakah setiap anggota himpunan A merupakan anggota

himpunan S , dapat kita tunjukkan melalui langkah-langkah berikut. ● Ambil anggota pertama dari himpunan A, yaitu 1 sehingga sisa anggota

himpunan A = {3, 5, 7}, ternyata 1 ada di himpunan S. ● Ambil anggota kedua dari himpunan A, yaitu 3 sehingga sisa anggota

himpunan A = {5, 7}, ternyata 3 ada di himpunan S. ● Ambil anggota ketiga dari himpunan A , yaitu 5 sehingga sisa anggota

himpunan A = {5, 7}, ternyata 5 ada di himpunan S.

Matematika

● Ambil anggota keempat dari himpunan A , yaitu 7 sehingga sisa anggota himpunan A = { }, ternyata 7 ada di himpunan S.

Karena setiap anggota himpunan

A merupakan himpunan S maka himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan S.

4. Memeriksa apakah seluruh anggota himpunan

B ada di himpunan A. Dengan cara yang sama seperti pertanyaan 2, pemeriksaannya kita lakukan

sebagai berikut. ● Ambil anggota pertama himpunan B, yaitu 1 sehingga sisa anggota himpunan

B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, ternyata 1 anggota himpunan A. ● Ambil anggota kedua himpunan B yaitu sehingga sisa anggota himpunan

B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, ternyata 2 bukan anggota himpunan A. Karena ada anggota himpunan

B yang bukan merupakan anggota himpunan A maka himpunan B bukan himpunan bagian dari himpunan A.

Berdasarkan alternatif penyelesaian Masalah 1.7 dan penyelesaian contoh

1.7 di atas, maka kita berikan definisi himpunan bagian sebagai berikut.

Definisi 1.3

Himpunan

A merupakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B atau B

superset dari A jika dan hanya jika setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B . Dilambangkan A ⊂ B atau B ⊃ A. Jika ada anggota

A yang bukan anggota B dan sebaliknya maka A bukan himpunan bagian dari B, dilambangkan dengan A ⊄ B.

B adalah dua buah himpunan. Untuk memeriksa apakah himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B dapat kita lakukan prosedur sebagai berikut.

Misalkan A dan

28 Buku Guru Kelas VII SMP/MTs

● Langkah pertama yang dilakukan adalah memeriksa banyak anggota himpunan

A dan banyak anggota himpunan B. Jika anggota himpunan A lebih banyak dari anggota himpunan B maka A ⊄ B, jika banyak anggota himpunan A kurang dari atau sama dengan banyak anggota himpunan B maka lanjut ke langkah selanjutnya.

● Periksa apakah setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B. Jika seluruh anggota himpunan A merupakan anggota himpunan

B maka A ⊂

B. Jika ada anggota himpunan A yang bukan merupakan anggota himpunan B maka A ⊄ B.

Agar siswa lebih memahami konsep himpunan bagian dan bukan himpunan bagian, perhatikan contoh berikut!

Contoh 1.8

Diberikan himpunan-himpunan: P={ x | x bilangan asli, 0 < x < 10}

Q = { x | x bilangan asli, 0 < x < 6 } R = { x | x bilangan prima, 0 < x < 6} Periksa apakah: 1) P ⊂ Q; 2) Q ⊂ P; 3) Q ⊂ R; 4) R ⊂ Q; 5) R ⊂ P; 6) P ⊂ R!

Alternatif Penyelesaian

1) Kita periksa apakah P ⊂ Q? Untuk menunjukkan apakah P ⊂ Q, kita tunjukkan apakah setiap anggota himpunan P merupakan anggota himpunan Q. Himpunan P = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} Himpunan Q = {1,2,3,4,5} Karena banyaknya anggota P lebih dari banyaknya anggota Q, dapat dipastikan P ⊂ Q.

Matematika

2) Kita periksa apakah Q ⊂P Dengan cara yang sama dengan langkah pada point (1) kita lakukan sebagai

berikut. ● Ambil anggota pertama himpunan Q yaitu 1 sehingga, sisa anggota

himpunan Q = {2, 3, 4, 5}, ternyata 1 ada di himpunan P. ● Ambil anggota kedua dari himpunan Q yaitu 2 sehingga, sisa anggota

himpunan Q = {3, 4, 5}, ternyata 2 ada di himpunan P. ● Ambil anggota ketiga himpunan Q yaitu 3 sehingga, sisa anggota

himpunan Q = {4, 5}, ternyata 3 ada di himpunan P. ● Ambil anggota keempat dari himpunan Q yaitu 4 sehingga, sisa anggota

himpunan Q = {5}, ternyata 4 ada di himpunan P. ● Ambil anggota kelima dari himpunan Q yaitu 5 sehingga, sisa anggota

himpunan Q = { }, ternyata 5 ada di himpunan P. ● Karena setiap anggota himpunan Q merupakan anggota himpunan P

maka himpunan Q adalah bagian dari himpunan P, ditulis Q ⊂ P.

Latihan

Sebagai latihan siswa:

Kerjakanlah point 3),4), 5), dan 6)

Pertanyaan Kritis

1. Jika M sebuah himpunan, apakah M ⊂ M? Buktikanlah!

2. Untuk

A, B, C adalah himpunan. Jika A ⊂ B dan B ⊂ C, apakah A ⊂ C?

30 Buku Guru Kelas VII SMP/MTs

⊂ Mari kita tunjukkan bahwa himpunan kosong adalah himpunan bagian dari setiap Dengan cara yang sama dengan langkah pada point (1) kita lakukan sebagai

himpunan. Perhatikan beberapa diagram Venn berikut!

1) Dari diagram Venn di bawah ini diperoleh

A = {1, 2, 3}

= {2, 3, 4, 5}, ternyata 1 ada di himpunan

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

● Q = {3, 4, 5}, ternyata 2 ada di himpunan

Dengan cara yang sama pada contoh 1.7 bagian 2) dan ● 3), dapat ditunjukkan bahwa setiap anggota himpunan

A adalah anggota himpunan B.

Q = {4, 5}, ternyata 3 ada di himpunan ●

Dengan demikian dapat dinyatakan bahwa A ⊂ B

= {5}, ternyata 4 ada di himpunan

2) Dari diagram Venn di bawah ini diperoleh

yaitu 5 sehingga, sisa anggota

S A = {1, 2}

= { }, ternyata 5 ada di himpunan

B = {1, 2, 4, 5, 6}

● Dengan cara yang sama pada contoh 1.8 bagian 2),

dapat ditunjukkan bahwa setiap anggota himpunan A adalah anggota himpunan B. Dengan demikian dapat dinyatakan bahwa A ⊂B

3) Dari diagram Venn di bawah ini diperoleh

A = {1}

B = {1, 4, 5, 6}

Kerjakanlah point 3),4), 5), dan 6) Dengan cara yang sama pada contoh 1.8 bagian 2),

dapat ditunjukkan bahwa setiap anggota himpunan A adalah anngota himpunan B . Dengan demikian dapat dinyatakan bahwa A ⊂ B.

4) Dari diagram Venn berikut ini diperoleh S A = { }

B = {4, 5, 6}

Buktikanlah! Berdasarkan ketiga diagram di atas dapat dinyatakan bahwa

A ⊂ B. Karena himpunan A tidak mempunyai

A, B, C

A⊂

anggota, maka A adalah himpunan kosong dan ditulis

A = ∅. Karena A = ∅ dan

A ⊂ B, maka ∅ ⊂ B.

Matematika

Berdasarkan uraian di atas kita temukan sifat berikut.

Sifat -1.1

Himpunan kosong ( ∅) merupakan bagian dari semua himpunan

Diskusi

Coba buktikan Sifat 1.1 di atas! minta siswa berdiskusi dengan temannya satu kelompok!