OPERASI HIMPUNAN

7. OPERASI HIMPUNAN

Beberapa operasi himpunan perlu diketahui, yaitu: irisan, gabungan, komplemen, dan selisih.

a. Irisan (intersection) Masalah -1.12

Syahrini dan Syahrani adalah dua orang sahabat. Syahrini senang dengan bunga mawar, bunga melati, dan bunga angrek, sedangkan Syahrani senang dengan bunga matahari dan bunga anggrek.

1) Jika A adalah himpunan bunga yang disenangi oleh Syahrini dan B adalah himpunan bunga yang disenangi oleh Syahrani, tentukanlah anggota himpunannya.

2) Apakah ada anggota kedua himpunan itu yang sama?

Alternatif Penyelesaian

A adalah himpunan bunga yang disenangi Syahrini.

B adalah himpunan bunga yang disenangi Syahrani. (1) Kedua himpunan itu adalah:

A = {mawar, melati, anggrek}

B = {matahari, anggrek}

Matematika

(2) Untuk melihat apakah ada anggota himpunan A yang sama dengan anggota himpunan B dapat dilakukan dengan membandingkan satu persatu, apakah elemen A ada pasangannya yang sama pada B dan sebaliknya. Kita dapat merancang prosedur sistematis untuk melakukan ini sebagai berikut.

(i) Ambil elemen pertama A, bandingkan dengan elemen B. Apabila ada pasangan yang anggotanya sama, tuliskan anggota yang sama itu pada sebuah himpunan misalkan himpunan C.

(ii) Ambil elemen kedua, ketiga, dan seterusnya dari A, ulangi hal yang sama. (iii) Bila setelah semua elemen A diproses, maka himpunan C tersebut

merupakan irisan himpunan

A dan himpunan B.

Prosedur ini kita lakukan sebagai berikut. (i) Ambil elemen pertama dari A yaitu: mawar. Apakah pasangan yang sama

ada di B? tidak ada. Lanjutkan ke elemen berikutnya. (ii) Ambil elemen kedua dari A yaitu: melati. Apakah pasangan yang sama ada

di B? tidak ada. Lanjutkan ke elemen berikutnya. (iii) Ambil elemen ketiga dari A yaitu: anggrek. Apakah pasangan yang sama

ada di B? ada. Karena ada pasangan yang sama, kita tuliskan anggota yang sama sebagai anggota sebuah himpunan, misalnya himpunan C = {anggrek}.

(iv) Karena semua elemen himpunan A telah habis, maka diperoleh sebuah himpunan yang anggotanya adalah ada di himpunan A dan ada di himpunan

B, yaitu: C = {anggrek} (3) Himpunan semua anggota yang ada di A dan ada di B, disebut irisan himpunan

B. Karena itu, irisan himpunan A dan himpunan B adalah {anggrek}.

A dan himpunan

48 Buku Guru Kelas VII SMP/MTs

Contoh 1.11

Diketahui himpunan P = {1, 3, 5, 7} dan Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Temukanlah sebuah himpunan yang anggotanya ada di himpunan P dan ada di himpunan Q !

Alternatif Penyelesaian

Kedua himpunan itu adalah: P = {1, 3, 5, 7} dan Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Untuk mencari himpunan dimaksud, kita lakukan prosedur sama seperti prosedur pada alternatif penyelesaian Masalah 1.12, sebagai berikut.

(1) Ambil elemen pertama dari P, yaitu: 1. Apakah ada pasangan yang sama di Q? ada. Karena ada pasangan yang sama, kita tuliskan anggota yang sama ini sebagai anggota sebuah himpunan R, yaitu: R = {1}

(2) Ambil elemen kedua dari P yaitu: 3. Apakah ada pasangan yang sama di Q? ada. Karena ada pasangan yang sama, kita tuliskan anggota yang sama ini sebagai anggota himpunan R, sehingga R = {1, 3}.

(3) Ambil elemen ketiga dari P yaitu: 5. Apakah ada pasangan yang sama di Q? ada. Karena ada pasangan yang sama, kita tuliskan anggota yang sama ini sebagai anggota himpunan R, sehingga R = {1, 3, 5}.

(4) Ambil elemen keempat dari P yaitu: 7. Apakah ada pasangan yang sama di B? tidak ada. Lanjutkan ke elemen berikutnya. (5) Karena semua elemen P telah habis, maka kita peroleh himpunan R yang anggotanya merupakan anggota himpunan P dan anggota himpunan Q, yaitu: R = {1, 3, 5}.

(6) Himpunan yang kita peroleh ini disebut irisan himpunan P dan himpunan Q. Berdasarkan alternatif penyelesaian Masalah 1.12 dan penyelesaian contoh

1.11, kita peroleh definisi irisan himpunan sebagai berikut.

Matematika

Definisi 1.6

Misalkan S adalah himpunan semesta. Irisan himpunan A dan B adalah himpunan semua anggota S yang terdapat pada himpunan

A dan terdapat pada himpunan B, dilambangkan dengan A ∩ B.

Pada diagram Venn di bawah ini, A ∩ B merupakan daerah yang diarsir:

Gambar 1.13. Diagram Venn A ∩B

Minta siswa mengerjakan beberapa soal berikut dalam kelompok! Hasil kerja kelompok disajikan di depan kelas dan minta kelompok lain untuk mengkritisi hasil kerja kelompok penyaji. Selanjutnya

beri kesempatan kepada siswa menanyakan hal-hal yang belum dipahami.

Latihan

Sebagai latihan siswa:

1) Jika A adalah himpunan siswa kelas VII SMP dan B adalah himpunan siswa kelas VIII SMP, apakah ada irisan himpunan A dan B? Mengapa?

2) Diberikan A = {x│x < 5, x bilangan asli} dan B = {x│x > 5, x bilangan asli}, apakah (A ∩ B) = Ø?

3) Jika A ∩ B = Ø, apakah B ∩ A = Ø?

50 Buku Guru Kelas VII SMP/MTs

Perhatikan contoh berikut.

Contoh 1.12

Diberikan himpunan X = {a, b} dan Y = {c, d, e}. Carilah irisan himpunan X dan himpunan Y.

Alternatif Penyelesaian

X = {a, b} dan Y = {c, d, e} Untuk mencari himpunan dimaksud, kita lakukan prosedur sama seperti prosedur

Kedua himpunan itu adalah

pada alternatif penyelesaian Masalah 1.12, sebagai berikut.

1. Ambil elemen pertama dari X yaitu: a. Apakah pasangan yang sama ada di Q? Tidak ada. Lanjutkan ke elemen berikutnya.

2. Ambil elemen kedua dari

X yaitu: b. Apakah pasangan yang sama ada di Q? Tidak ada. Lanjutkan ke elemen berikutnya.

3. Karena elemen X telah habis maka tidak ada elemen himpunan X ada di elemen himpunan Y.

Karena tidak ada elemen X ada di elemen Y, maka kita sebut irisan himpunan X dan himpunan Y adalah himpunan kosong, di lambangkan dengan X ∩ Y = Ø.

h Jika X ∩ Y = Ø dan Y ∩ X = Ø disebut bahwa himpunan X saling lepas dengan himpunan Y.

Perhatikan kembali contoh berikut.

Contoh 1.13

Perhatikan diagram Venn pada gambar 1.14 Selidikilah apakah A∩B=B∩A=Ø

Alternatif Penyelesaian

Kedua himpunan itu adalah:

A = {1, 3, 5}

B = {2,4, 6, 8}

Matematika

Untuk mencari himpunan dimaksud, kita lakukan prosedur sama seperti prosedur pada alternatif pemecahan Masalah 1.12, sebagai berikut.

Gambar 1.14. Diagram Venn A ∩B=∅ Menyelidiki apakah A ∩ B = Ø

(1) Ambil elemen pertama dari A, yakni 1. Apakah ada pasangan yang sama di B? Tidak ada. Lanjutkan ke elemen berikutnya! (2) Ambil elemen kedua dari A, yakni 3. Apakah ada pasangan yang sama di B? Tidak ada. Lanjutkan ke elemen berikutnya! (3) Ambil elemen ketiga dari A , yakni 5. Apakah ada pasangan yang sama di B? Tidak ada. Lanjutkan ke elemen berikutnya!

(4) Karena elemen A telah habis maka tidak ada elemen himpunan

A yang sama dengan elemen himpunan B. Menyelidiki apakah B ∩ A = Ø

(1) Ambil elemen pertama dari B, yakni 2. Apakah ada pasangan yang sama di A? Tidak ada. Lanjutkan ke elemen berikutnya! (2) Ambil elemen kedua dari B, yakni 4. Apakah ada pasangan yang sama di A? Tidak ada. Lanjutkan ke elemen berikutnya! (3) Ambil elemen ketiga dari B, yakni 6. Apakah ada pasangan yang sama di A? Tidak ada. Lanjutkan ke elemen berikutnya!

(4) Ambil elemen keempat dari B, yakni 8. Apakah ada pasangan yang sama di A? Tidak ada. Lanjutkan ke elemen berikutnya!

(5) Karena elemen B telah habis maka tidak ada elemen himpunan B ada di elemen himpunan A.

h Karena tidak ada elemen himpunan

A yang ada di himpunan B, maka kita sebut irisan himpunan A dan himpunan B adalah himpunan kosong, di lambangkan

dengan

A ∩ B = Ø.