MENEMUKAN KONSEP RUANG SAMPEL
1. MENEMUKAN KONSEP RUANG SAMPEL
Memotivasi siswa melalui pemanfaatan situasi nyata untuk membangun persepsi positif mempelajari konsep peluang. Orientasikan masalah pada siswa dan organisasikan siswa belajar dalam kelompok menggunakan fasilitas dadu, koin, dan kartu untuk melakukan percobaan dalam kelompok masing-masing.
a. Kejadian Tunggal Masalah-10.1
Pernahkah kamu bermain permainan ular tangga? Dalam permainan ini kita meng- gunakan mata dadu. Dengan melakukan lemparan dadu terlebih dahulu maka kita boleh melangkah. Banyaknya langkah yang dijalankan bergantung pada mata dadu yang keluar. Ketika kita melakukan lemparan dadu maka kita tidak pernah tahu mata dadu mana yang akan keluar. Meski demikian, tahukah kamu angka berapa saja yang mungkin akan muncul? Opik dan Upik ingin bermain permainan ular tangga, untuk memulai langkah mereka melemparkan sebuah mata dadu bermata enam. Tentukanlah kemungkinan hasil mata dadu yang mereka lemparkan!
Alternatif Penyelesaian
Sebuah dadu bermata enam yang seimbang jika dilemparkan hanya memunculkan satu mata dadu. Kemungkinan mata dadu yang muncul adalah angka
1, angka 2, angka 3, angka 4, angka 5, dan angka 6.
Gambar 10.1 Mata Dadu
Buku Guru Kelas VII SMP/MTs
Himpunan semua kemungkinan mata dadu yang muncul pada pelemparan satu dadu ditulis sebagai berikut. S={1,2,3,4,5,6}.
Himpunan S disebut sebagai ruang sampel pelemparan satu dadu. • Jika Opik menginginkan angka yang muncul adalah angka dua maka kemungkinan
mata dadu yang muncul adalah K={2}. • Jika mereka menginginkan angka yang muncul adalah mata enam, maka
kemungkinan mata dadu yang muncul adalah K={6}.
Masalah-10.2
Pada suatu sore, Murdiono dan Ikhsan sedang asik bermain kartu domino. Mereka mencabut sebuah kartu untuk dirangkaikan. Kartu apa saja yang berkemungkinan mereka peroleh?
Alternatif Penyelesaian
Setiap kartu domino memiliki dua mata pada setiap lembarnya. Misalkan kartu bermata satu-satu, tiga-tiga ditulis:11, 33 maka dapat kita tulis seluruh kemungkinan
kartu domino yang muncul adalah: 00 01 02 03 04 05 06
11 12 13 14 15 16 Gambar 10.2 Kartu Domino
S= 33 34 35 36
Jika kartu yang memiliki angka kembar disisihkan maka tentukanlah seluruh kemungkinan kartu yang mereka peroleh!
Matematika
Dengan menggunakan Masalah 10.2 di atas, jika ingin menunjukkan kemungkinan muncul kartu bernilai 12.
• Kemungkinan muncul kartu bernilai 12 adalah: K ={66}.
Dari kedua masalah di atas yakni pelemparan mata dadu dan pencabutan kartu domino merupakan percobaan statistik. Kedua percobaan di atas juga merupakan kejadian sederhana yaitu kejadian yang menghasilkan satu titik sampel. Definisi titik sampel, ruang sampel, dan kejadian kita berikan sebagai berikut.
Definisi 10.1
• Titik Sampel adalah hasil yang mungkin terjadi dari suatu percobaan. • Ruang Sampel adalah himpunan semua titik sampel, disimbolkan
dengan S. • Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel S, disimbolkan
dengan K.
b. Kejadian Majemuk
Bagaimana jika kegiatan percobaan statistika menggunakan lebih dari satu percobaan? Sekarang kita menambahkan atau memadukan setiap sampel percobaan yang telah ada. Kombinasi percobaan dengan menggunakan ruang sampel yang ada disebut kejadian majemuk. Misalnya melempar dua buah mata koin, mata dadu atau memadukan mata dadu dan mata koin dalam suatu percobaan.
Masalah-10.3
Beberapa permainan di daerah pedesaan ada yang menggunakan dua koin mata uang. Permainan dilakukan dengan melempar ke dua koin tersebut sekaligus. Biasanya, pemenang dalam percobaan tersebut jika pelemparan dua koin berhasil memunculkan sisi
Gambar 10.3 Dua Mata Uang Koin
angka-angka dan sisi gambar-gambar. Susunlah semua peristiwa yang mungkin terjadi pada permainan tersebut.
Buku Guru Kelas VII SMP/MTs
Alternatif Penyelesaian
Pada permainan tersebut, kita misalkan:
A : menyatakan munculnya sisi angka.
G : menyatakan munculnya sisi gambar. Ada beberapa cara untuk menyajikan semua kejadian yang mungkin muncul
permainan tersebut.
i. Cara Mendaftar
Ada empat kemungkinan yang dapat muncul, yaitu: Koin I muncul A, dan koin II muncul A. Koin I muncul A, dan koin II muncul G. Koin I muncul G, dan koin II muncul A. Koin I muncul G, dan koin II muncul G.
Semua kemungkinan yang dapat muncul tersebut, dapat kita tulis sebagai berikut.
S = {(A, A), (A,G), (G,A), (G,G)}
himpunan S tersebut dikatakan sebagai ruang sampel pelemparan dua koin.
ii. Menggunakan Diagram Kartesius
Dengan menggunakan diagram Kartesius kita dapat menyajikan sebagai hasil pemasangan dari dua titik yang berurutan.
o A GA AA
AA AA
Ruang Sampel
G GG AG AG AG
G A Koin II
Gambar 10.4 Diagram Kartesius Ruang Sampel Dua Koin
Matematika
Tabel 10.1 Ruang Sampel Pelemparan Dua Koin
Koin I
Koin II
Gambar (G) Angka (A)
Angka (A)
{A,G} Gambar (G)
{A,A}
{G,A}
{G,G}
iv. Diagram Pohon
Kita juga dapat menyajikan ruang sampel dari percobaan pelemparan dua mata koin dengan menggunakan diagram pohon seperti dalam penyajian berikut.
Koin I
Koin II
Ruang Sampel
Gambar 10.5 Diagram Pohon Ruang Sampel Pelemparan Dua Koin
Pertanyaan Kritis
Bersama dengan temanmu, tunjukkanlah bahwa banyak ruang sampel pelemparan 3 koin adalah 8. Silahkan gunakan salah satu dari metode di atas!
Buku Guru Kelas VII SMP/MTs
Arahkan siswa bekerja dalam kelompok untuk melakukan percobaan mengetos tiga buah mata uang untuk menentukan ruang sampel dari hasil percobaan. Amati siswa bekerja dan memberikan kesempatan kepada siswa bertanya hal-hal yang belum dipahami dan memberikan bantuan baik secara individu, kelompok maupun klasikal.
Kita dapat tuliskan pola banyaknya anggota ruang sampel, yang muncul pada pelemparan dari satu koin, dua koin, dan tiga koin, sebagai berikut.
1 koin ↔ banyak anggota ruang sampel
2 koin ↔ banyak anggota ruang sampel
3 koin ↔ banyak anggota ruang sampel
16 2 4 . . . . . . n koin ↔ banyak anggota ruang sampel
4 koin ↔ banyak anggota ruang sampel
Berdasarkan pola yang kita temukan di atas, secara umum, untuk menghitung banyaknya anggota ruang sampel pelemparan n koin, dapat ditulis sebagai berikut.
Sifat -10.1
Banyaknya anggota ruang sampel dari pelemparan n koin = 2 n .
Mengorganisasikan siswa melakukan percobaan menggunakan dua mata dadu. Meminta siswa secara kelompok melakukan percobaan dan mendaftar semua kemungkinan yang terjadi dengan pelambungan dua mata dadu.
Matematika
Masalah-10.4
Wahyu baru mengetahui suatu permainan dengan menggunakan dua dadu dari pamannya yang baru pulang dari merantau. Wahyu memahami permainan itu dengan melalui percobaan yang dia lakukan bersama temannya, Rangga. Mereka berulang-ulang melempar dua dadu sekaligus, secara bergantian, dan mencatat semua kemungkinan yang terjadi.
Sekarang, mari kita bantu Wahyu dan Rangga Gambar 10.6 Dua Mata Dadu
menuliskan semua kemungkinan yang terjadi.
Alternatif Penyelesaian
Pada percobaan ini, kita akan coba mengurut semua kemungkinan-kemungkinan yang bisa muncul. Dadu I memiliki enam angka yang mungkin muncul, demikian juga dadu II.
Mari cermati kemungkinan-kemungkinan berikut ini. • Jika dadu I muncul angka 1, maka dadu II mungkin memunculkan angka 1, 2,3 4,
5, atau 6. • Jika dadu I muncul angka 2, maka dadu II mungkin memunculkan angka 1, 2, 3,
4, 5, atau 6. Demikian seterusnya, sampai semua angka pada dadu I dipasangkan dengan semua
angka pada dadu II.
Buku Guru Kelas VII SMP/MTs
Dengan memahami dua buah dadu yang dilemparkan secara bersama menghasilkan ruang sampel dan titik sampel berikut.
Tabel 10.2 Ruang Sampel Dua Mata Dadu
Dadu (I/II) 1 2 3 4 5 6
{6,5} {6,6} n(S)
Meminta siswa menjawab beberapa pertanyaan berikut dan penyelesaiannya dituangkan pada Lembar Aktivitas Siswa secara kelompok. Meminta salah satu kelompok menyajikan hasil kerjanya di depan kelas.
Pertanyaan Kritis
• Mungkinkah suatu kejadian K sama dengan ruang sampel S? • Pada kedua percobaan di atas, cara penyajian ruang dan titik sampel
manakah yang lebih baik? Berikan alasan! • Jika kejadian K adalah munculnya dadu berjumlah ≤ 4. Tentukan kejadian K! • Adakah kamu temukan kejadian di luar kejadian K ?
Masalah-10.5
Dhani melakukan percobaan dengan melambungkan tiga buah mata koin ke atas secara bersamaan. Tentukan ruang sampel dan banyak anggota ruang sampel!
Matematika
Alternatif Penyelesaian
Setiap pelemparan tiga mata koin akan menghasilkan tiga titik mata koin dalam setiap kejadian, maka ruang sampel percobaan tersebut adalah:
S={(A,A,A), (A,A,G), (A,G,A), (A,G,G), (G,A,A), (G,A,G), (G,G,A), (G,G,G)}
Diperoleh banyak anggota anggota ruang sampel n(S)=8
• Guru meminta siswa untuk membandingkan cara penyajian yang lain dan temukan perbedaannya!
Percobaan melambungkan, • kejadian satu mata koin, n(S) = 2 = 2 1 • kejadian satu dadu, n(S) = 6 = 6 1 • kejadian dua buah koin, n(S) = 4 =2 2 • kejadian dua dadu, n(S) = 36 = 6 2
• kejadian tiga buah koin, n(S) = 8 = 2 3 ... • kejadian tiga dadu, n(S) = 216= 6 3 ...
• kejadian n buah koin, n(S) = 2 n • kejadian n buah dadu, n(S) = 6 n
Dengan melihat pola yang terbentuk dari ruang sampel di atas kita dapat mengetahui berapa banyak n(S) yang diperoleh untuk n kejadian sebagai berikut.
Tabel 10.3 Tabel Jumlah Sampel
Banyak Ruang Sampel, n(S) Banyak kejadian n
Koin
Dadu
Kartu Domino
Buku Guru Kelas VII SMP/MTs
52 n
Masalah-10.6
Rahmad ingin menghadiri pesta ulang tahun temanya, namun ia bingung untuk menentukan pilihan baju yang akan dipakai. Rahmad memiliki dua celana berwarna hitam dan biru serta empat baju berwarna kuning, merah, putih, dan ungu. Ada berapa banyak pasangan warna celana dan baju yang dapat dibentuk?
Dengan menggunakan diagram pohon dapat kita bentuk pasangan celana dan baju sebagai berikut.
WARNA CELANA
WARNA BAJU
KUNING
(HITAM, KUNING)
(HITAM, MERAH) AM
(HITAM, HIJAU)
UNGU
(HITAM, UNGU)
KUNING
(BIRU, KUNING)
(BIRU, MERAH) BIRU
MERAH
HIJAU
(BIRU, HIJAU)
UNGU
(BIRU, UNGU)
Dari diagram pohon di atas tampak ada 8 macam pasangan warna celana dan baju yang dapat dibentuk sebagai berikut.
S = {(HITAM, KUNING), (HITAM, MERAH), (HITAM, HIJAU), (HITAM, UNGU), (BIRU, KUNING), (BIRU, MERAH), (BIRU, HIJAU), (BIRU,
UNGU)}.
Matematika