MENEMUKAN KONSEP TRANSLASI (PERGESERAN)

1. MENEMUKAN KONSEP TRANSLASI (PERGESERAN)

Kita akan mencoba menemukan beberapa konsep transformasi dengan mempelajari beberapa masalah berikut. Pada bagian ini, transformasi pada bidang terdiri dari translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perkalian).

Masalah -8.1

Beberapa anak sedang bermain sebuah permainan di sebuah lapangan. Mereka membentuk kelompok dengan anggota 2 orang. Tini dan Tina adalah teman satu kelompok. Pada permainan tersebut, mata Tina ditutup dengan sapu tangan, kemudian Tini memandu pergerakan Tina untuk mendapatkan bola yang telah ditentukan tempatnya. Kelompok yang paling cepat mendapatkan bola tersebut adalah pemenangnya. Tini memberikan arahan kepada Tina, “Maju 3 langkah, kemudian ke kanan 4 langkah, maju 1 langkah, kemudian maju lagi

1 langkah”. Gambarkanlah dalam grafik kartesius langkah yang ditempuh Tina dan tentukanlah posisi Tina mendapatkan bola tersebut.

Alternatif Penyelesaian

Gambar 8.1 Grafik Pergerakan Tina

Matematika

Mari kita amati pergerakan Tina pada koordinat kartesius di atas dengan mengasumsikan bahwa pergerakan ke depan adalah searah sumbu y positif, ke kanan adalah searah sumbu x positif. Misalkan posisi awal Tina adalah titik asal O(0,0).

Berdasarkan sketsa di atas.

1. Tina bergerak 3 langkah ke depan dari O (0,0) ke A (0,3). Hal ini berarti A(0,3) = A(0+0, 0+3);

2. Tina bergerak lagi 4 langkah ke kanan dari A(0,3) ke B(4,3). Hal ini berarti: B(4,3) = B(0+4, 3+0);

3. Tina bergerak lagi 1 langkah ke depan dari B(4,3) ke C(4,4). Hal ini berarti: C(4,4) = C(4+0, 3+1);

4. Tina bergerak lagi 1 langkah ke depan dari C(4,4) ke D(4,5). Hal ini berarti: D(4,5) = C(4+0, 4+1).

Maka posisi Tina untuk mendapatkan bola tersebut adalah berada di titik D (4, 5).

Masalah - 8.2

Adik bermain game pada sebuah komputer. Dalam permainannya, dia menggerakkan mouse ke kanan 2 langkah dan ke atas 3 langkah. Kemudian dia menggerakkan lagi ke kiri 4 langkah dan ke bawah 2 langkah. Selanjutnya, mouse bergerak lagi ke kiri 1 langkah dan ke atas 3 langkah. Demikianlah adik terus menggerakkan mouse untuk memainkan game tersebut.

Seperti pembahasan kita pada masalah di atas, kita akan mencoba memahami konsep pergeseran mouse komputer tersebut. Perhatikan grafik berikut!

Buku Guru Kelas VII SMP/MTs

Alternatif Penyelesaian

Gambar 8.2 Grafik Pergeseran Mouse Komputer

Mari kita pelajari pergeseran mouse tersebut. Kita asumsikan pergerakan ke kanan adalah searah sumbu x positif, pergerakan ke kiri adalah searah sumbu x negatif, pergerakan ke atas adalah sumbu y positif dan pergerakan ke bawah adalah searah sumbu y negatif.

Pergerakan 1. Misalkan posisi awal mouse adalah O(0,0) kemudian bergerak ke kanan 2 langkah dan ke atas 3 langkah, sehingga berada pada koordinat A(2,3). Hal ini berarti:

A = (0 + 2, 0 + 3)

Pergerakan 2. Posisi mouse adalah A(2,3), kemudian bergerak ke kiri 4 langkah dan ke bawah 2 langkah, sehingga berada pada koordinat B(-2, 1). Hal ini berarti:

B(–2,1) = B(2–4, 3–2)

Pergerakan 3. Posisi mouse adalah B(–2,1) kemudian bergerak ke kiri 1 langkah dan ke atas 3 langkah, sehingga pada grafik nampak dikoordinat C(–3,4). Hal ini

berarti:

B(–3,4) = B(–2–1, 1+3)

Matematika

Secara induktif, jika titik A(zx, y) digeser/translasi dengan T (a, b) maka posisi akhir titik adalah A(x+y, y+b). Secara matematis, konsep translasi dituliskan sebagai berikut.

Definisi 8.1

Misalkan x, y, a, dan b adalah bilangan real, Translasi titik A(x, y) dengan menggeser absis x sejauh a dan menggeser ordinat y sejauh b, sedemikian diperoleh titik A′(x + a, y + b), secara notasi dilambangkan dengan:

T ( a , b A ) ( x , y )  →  A ' ( x + a , y + b )

Perhatikan kembali pergeseran Tina pada Gambar-8.1. Posisi mula-mula Tina di titik (0,0) bergerak ke A(0,3) oleh translasi T 1 (0,3), bergerak ke titik D (4,3) oleh translasi T 2 (4,0) dan seterusnya. Walaupun Tina terus bergeser, perubahan pada diri Tina tidak ada, kecuali perubahan posisi. Demikian juga pergeseran mouse komputer. Perubahan mouse komputer tidak ada pada setiap pergeseran kecuali posisi. Dari keadaan ini kita dapat simpulkan sifat translasi.

Perhatikan contoh hasil translasi pada gambar berikut.

Gambar 8.3 Pergeseran Sebuah Obyek

Buku Guru Kelas VII SMP/MTs

Diskusi

Dapatkah siswa menemukan sifat-sifat translasi di atas melalui pengamatannya pada grafik di atas dan benda-benda yang bergerak di sekitar siswa?

Sifat - 8.1

Bangun yang digeser (ditranslasikan) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.

Sifat - 8.2

Bangun yang digeser (ditranslasikan) mengalami perubahan posisi.

Contoh 8.1

Sebuah titik P(a,b + 2 + b) digeser dengan T(3,2 – a) sehingga hasil pergeseran adalah Q(3a + b, –3). Tentukanlah pergeseran titik (2, 4), R oleh translasi T di atas!

Alternatif Penyelesaian

T (. 32 ba - Pab ) (, 2 ) Qab ( 3 + , - 3 )

3a + b = a + 3 atau 2a + b = 3 dan –3 = 2b – a + b + 2 atau a = 3b + 5 Dengan mensubstitusi a = 3b + 5 ke 2a + b = 3 maka diperoleh:

a = 3b + 5 dan 2a + b = 3

→ 2(3b + 5) + b = 3 → 7b + 10 = 3

→ 7b = –7 → b = –1

Matematika

Bila nilai b = -1 disubstitusi ke a = 3b + 5 maka a = 2. Dengan demikian, translasi yang dimaksud adalah T(3, 2b – a) = T (3,4). Pergeseran titik R (2, 4) oleh translasi T (3,-4) adalah:

T(, 34 - R ) (,) 24 S ( 234 + , +- ( 4 )) = S (,) 50