2. GunakanoperasiBariselementeruntukmengubahelemenpivotmenjadi1 danreduksisemuaelemenlaindalamkolomkerjamenjadi0.
3. GantikanmatriksbasisB,misalkandalamkolomke-rdanbarispivotdengan A
k
yangterdapat dalam kolom pivot.B=B
1
,B
2
,...,A
k
,...,B
m T
merupakan variabeldasarbaru.
4. Ulangikembalilangkah1sampai4sehinggatidakterdapatlagielemenyang negatifdalambaristerakhiratausemuac
j
- z
j
0. 5. Pemecahanoptimaldiperolehdenganmenetapkan
nilaivariabelyang bersangkutanpadakolomHyangberasosiasidenganvariabeldalambasis.
Variabelyangnon basis ditetapkanbernilainol.Sedangkannilaioptimal fungsiobjektifadalahbilangan yangberadapadabarisakhirkolom Huntuk
masalahmaksimisasi dannegatifbilangantersebutjikauntukmasalah minimisasi.
3.6. Fuzzy Linear Programming
6
4. Logikafuzzymampumemodelkanfungsi-fungsinon-linieryang sangatkompleks.
Ada beberapaalasanorangmenggunakanlogikafuzzy, antaralain: 1. Konseplogikafuzzymudahdimengerti.Konsepmatematisyang
mendasari penalaran fuzzy sangat sederhana dan mudah dimengerti.
2. Logikafuzzysangatfleksibel. 3. Logika fuzzy memilikitoleransiterhadap data-datayang tidak tepat.
6
Kusumadewi, Sri. 2002. Analisis Desain Sistem Fuzzy.
Universitas sumatera utara
5. Logika fuzzy dapat membangun dan mengaplikasikan pengalaman- pengalaman parapakarsecaralangsungtanpaharus melaluiproses pelatihan.
6. Logika fuzzy
dapat bekerjasama dengan teknik-teknik kendali secarakonvensional.
7. Logikafuzzydidasarkanpadabahasaalami. Pada Fuzzy Linear Programming, bentuk persamaan akan
mengalamisedikitperubahansebagaiberikut. 1. Bentuk imperatif pada fungsi obyektif tidak lagi benar-benar “maksimum”
atau“minimum”, karenaadanyabeberapahalyang perlumendapatpertimbangandalamsuatusistem.
2. Tanda ≤pada
batasandalamkasusmaksimasidantanda≥pada batasandalamkasusminimasitidaklagibermaknacrispsecara
matematis,namunsedikitmengalamipelanggaran makna.Halini
jugadisebabkan karenaadanyabeberapayangperlu dipertimbangkandalamsistemyangmengakibatkanbatasantidak
dapatdidekatisecarategas. Bentuk umum dari Fuzzy Linear Programming adalah sebagai berikut:
Maksimumkan : λ
Dengan batasan : λp + B
i
x ≤d
i
+ p
i
i = 0,1, ...,m x
≥0 Berikut akan diberikan sebuah contoh kasus penggunaan fuzzy
linearprogramming dalam perencanaan produksi dengan tujuan
memaksimalkankeuntungan sebuah perusahaan.
Universitas sumatera utara
Sebuah perusahaan kecil memproduksi 2 jenis produk yang berbedadengan masing-masing membutuhkan 3 macam bahan baku, yaitu A, B
dan C.Produk tersebut dikerjakan melalui 2 proses pengerjaan manual, yaitu proses I danII. Setiap unit produk I membutuhkan 10 ons bahan baku A, 6 ons
bahan baku Bdan 12 ons bahan baku C. Setiap unit produk II membutuhkan 8 ons bahan bakuA, 10 ons bahan baku B dan 9 ons bahan baku C. Akibat keterbatasan
gudangbahan baku dan dana yang ada, bahan baku yang disediakan setiap minggu adalahsebesar 120 kg bahan baku A, 90 kg bahan baku B dan 125 kg bahan baku
C.Namun demikian pihak perusahaan masih memungkinkan adanya penambahanbahan baku A hingga 30 kg, bahan baku B hingga 10 kg dan bahan
baku C hingga 50 kg, asalkan dengan penambahan sedikit saja, keuntungan yang
diperolehperusahaan akan bertambah. Setiap unit produk I membutuhkan waktu 4 jam pada proses I dan 2
jampada proses II. Setiap unit produk II membutuhkan waktu 3 jam pada proses I dan4 jam pada proses II. Jumlah karyawan pada proses I sebanyak 10
orangsedangkan pada proses II sebanyak 12 orang. Perusahaan bekerja dengan 1 shift,mulai pukul 08.00 sampai pukul 16.00 dengan istirahat selama 1 jam mulai
pukul12.00 hingga 13.00, selama 6 hari kerja dalam 1 minggu. Sumbangan keuntunganper unit untuk produk I sebesar Rp. 5000,- dan produk II sebesar
Rp.6000,-.Informasi bagian pemasaran menyatakan bahwa berapapun produk yang dibuatperusahaan, akan terserap seluruhnya oleh pasar. Berapa keuntungan
maksimum
Universitas sumatera utara
yang bisa diperoleh oleh perusahaan?
Dalam penyelesaian kasus ini, selanjutnya satuan bahan baku dinyatakan dalam
Penyelesaian:
ons. Jam kerja karyawan per minggu dapat dihitung: 1. Proses I : 10 x 7 x 6 = 420 jam
2. Proses II : 12 x 7 x 6 = 504 jam Kasus ini dapat ditabulasikan sebagai berikut:
Sumber Produk
Kapasitas I
II Maksimum
Toleransi
Bahan Baku A 10
8 1200
300 Bahan Baku B
6 10
900 100
Bahan Baku C 12
9 1250
500 Jam Proses I
4 3
420 Jam Proses II
2 4
504 KeuntunganUnit
5000 6000
Variabel keputusan: 1. X1 : jumlah produk I yang dibuat
2. X2 : jumlah produk II yang dibuat Kasus tersebut dapat diformulasikan sebagai berikut:
Maksimumkan : Z = 5000 X1 + 6000 X2
KendalaBatasan : 10 X1 + 8 X2
≤ 1200 + 300 t 6 X1 + 10 X2
≤ 900 + 100 t
Universitas sumatera utara
12 X1 + 9 X2 ≤ 1250 + 500 t
4 X1 + 3 X2 ≤ 420
2 X1 + 4 X2 ≤ 504
X1, X2 ≥ 0
Untuk t = 0 λ = 1, diperoleh model:
Maksimumkan : Z = 5000 X1 + 6000 X2
KendalaBatasan : 10 X1 + 8 X2
≤ 1200 6 X1 + 10 X2
≤ 900 12 X1 + 9 X2
≤ 1250 4 X1 + 3 X2
≤ 420 2 X1 + 4 X2
≤ 504 X1, X2
≥ 0 Memberikan solusi: X1 = 66,67
X2 = 50 Z = 633.333,3
Untuk t = 1 λ = 0, diperoleh model:
Maksimumkan : Z = 5000 X1 + 6000 X2
KendalaBatasan : 10 X1 + 8 X2
≤ 1500 6 X1 + 10 X2
≤ 1000 12 X1 + 9 X2
≤ 1750 4 X1 + 3 X2
≤ 420 2 X1 + 4 X2
≤ 504 X1, X2
≥ 0
Universitas sumatera utara
Memberikan solusi : X1 = 54,55 X2 = 67,27 dan
Z = 676.363,6 Dari kedua hasil ini t =0 dan t = 1, dapat ditentukan nilai p0, yaitu
hasilpengurangan dari z pada saat t = 1 dengan z pada saat t = 0 p0 = 676.363,6 - 633.333,3 = 43.030,3. Fungsi keanggotaan tiap-tiap persamaan dapat dilihat pada
Gambar 3.1.
1
633.333,3 676.363,3
5000X1+6000X2
1
1000 900
6X1+10X2 1
1500 1200
10X1+8X2
1
1750 1250
12X1+9X2 a Fungsi Tujuan
b Batasan 1
c Batasan 2 d Batasan 3
Gambar 3.1. Fungsi Keanggotaan
Akhirnya dapat dibentuk model fuzzy linear programming sebagai berikut: Maksimumkan
: λ
Kendala Batasan : -43.030,3
λ + 5000 X1 + 6000 X2 ≥ 633.333,3 300
λ + 10 X1 + 8 X2 ≤ 1500 100
λ + 6 X1 + 10 X2 ≤ 1000
Universitas sumatera utara
500 λ + 12 X1 + 9 X2 ≤ 1750
4 X1 + 3 X2 ≤ 420
2 X1 + 4 X2 ≤ 504
λ , X1, X2 ≥ 0 Memberikan solusi :
λ = 0,513 ; X1 = 61,536 X2 = 57,952 ; Z = 655.392,000
Nilai untuk setiap batasan: 1. Batasan 1 = 10 X1 + 8 X2 = 1.078,976
2. Batasan 2 = 6 X1 + 10 X2 = 948,736 3. Batasan 3 = 12 X1 + 9 X2 = 1.260,000
4. Batasan 4 = 4 X1 + 3 X2 = 420,000 5. Batasan 5 = 2 X1 + 4 X2 = 354,880
Derajat keanggotaan untuk setiap batasan: 1. Batasan 1 =
μ
1
[B X ] = 1 karena 1.078,976 1200 2. Batasan 2 =
μ
2
[B X ] = 1.000 – 948,736 100 = 0,513 3. Batasan 3 =
μ
3
[B X ] = 1.750 – 1.260,000 100 = 0,980 Dengan menggunakan linear programming biasa t = 0,
keuntunganmaksimum akan diperoleh jika produk I diproduksi sebanyak 66,67 unit danproduk II diproduksi sebanyak 50 unit, keuntungan yang diperoleh Z
sebesarRp. 633.333,3,-. Pada kondisi ini dibutuhkan: bahan baku A sebanyak 1.066,7 10 x 66,67 + 8 x 50 ons; bahan baku B sebanyak 900,2 6 x 66,67 + 10
x 50 onsdan bahan baku C sebanyak 1.250,04 12 x 66,67 + 9 x 50 ons.
Universitas sumatera utara
Sedangkan untukjam proses I selama 416,68 4 x 66,67 + 3 x 50 menit dan proses II selama333,34 2 x 66,67 + 4 x 50 menit. Hasil ini masih memberikan
surplus untukbahan baku A sebanyak 133,33 ons; jam proses I sebesar 3,33 jam; dan jam proses
II sebesar 170,67 jam. Sedangkan bahan baku B dan C tidak mengalami surplus. Apabila digunakan fuzzy linear programming
λ = 0,513, keuntunganmaksimum akan diperoleh jika produk I diproduksi sebanyak 61,536
unit danproduk II diproduksi sebanyak 57,952 unit, keuntungan yang diperoleh Zsebesar Rp. 655.392,- Rp. 22.058,7 lebih banyak dibanding dengan
linearprogramming biasa. Dengan catatan bahwa pada kondisi ini, dibutuhkan: bahanbaku A sebanyak 1.078,967 ons; bahan baku B sebanyak 948,736 ons dan
bahanbaku C sebanyak 1.260 ons. Sedangkan untuk jam proses I selama 420 jam danproses II selama 354,88 jam. Tentu saja hasil ini mengharuskan perusahaan
untukmenambah bahan baku B sebanyak 48,736 ons dari 900
3.7. Perhitungan Data Waktu
