63
terdekat dengan data dibandingkan dengan sel yang memiliki jarak yang lebih jauh.
b. Metode Spline Metode interpolasi yang digunakan untuk mendapatkan nilai kurva
minimum antara nilai input. Metode yang sering digunakan terhadap ketinggian permukaan bumi,, ketinggian muka air tanah. Dalam metode
spline terdapat dua tipe yaitu Regularized dan Tension. Regularized membuat suatu permukaan menjadi lebih halus sedangkan tension
mempertegas bentuk permukaan sesuai dengan fenomena model.
2.16.1 Konsep Interpolasi
Interpolasi memanfaatkan suatu informasi yang dikandung oleh data yang sudah diketahui sebelumnya sehingga dapat menghasilkan suatu
data yang saling berkaitan dengan data yang belum diketahui. Sedangkan secara matematika interpolasi dapat diartikan sebagai berikut :
Jika diketahui sebuah barisan yang terdiri dari n bilangan xk yang disebut node, dan untuk setiap xk sebuah
bilangan lain yk akan dicari sebuah fungsi sedemikian rupa sehingga memenuhi persamaan :s
fxk = yk k = 1, . . . , n
Pasangan xk, yk disebut titik data data point dan f disebut fungsi interpolan untuk titik data tersebut. Apabila banyak yk diketahui maka
fungsi interpolan dapat dituliskan sebagai fk. Sebagai contoh, pada gambar 2.10 ditunjukkan sebuah tabel dan visualisainya yang dihasilkan dari
sebuah fungsi fx yang tidak diketahui. Dari
64 Gambar 2.10 contoh tabel data interpolasi
2.16.2 Jenis Interpolasi
Interpolasi secara umum dapat dikelompokkan menjadi 3 kelompok yaitu interpolasi linier, interpolasi polinomial, dan interpolasi spline. Dari
ketiga jenis interpolasi ini interpolasi linier merupakan interpolasi paling sederhana. Pada contoh di atas,untuk menentukan nilai f2.5 dilakukan
dengan cara menghitung titik tengah antara 2 dan 3 karena 2.5 ada diantara 2 dan 3. Karena nilai f2 adalah 0.9093 dan nilai f3 adalah 0.1411, maka
nilai f2.5 adalah 0.5252. Pada umumnya interpolasi linier akan mengambil dua titik, xa, ya dan xb,
yb dan interpolannya adalah sebagai berikut :
y = ya +x − xayb − ya
xb − xa
65
Adapun kelemahan dari interpolasi ini adalah tidak terlalu akurat, fungsi interpolan tidak dapat dideferesialkan pada titik xk. Dalam pengertian
lain, kesalahan proposional pada kuadrat jarak antara titik-titik data. Interpolasi polinomial merupakan bentuk umum dari interppolasi
linear. Perbedaanya terletak pada fungsi interpolan yang digunakan. Pada interpolasi linier, fungsi yang digunakan adalah fungsi linier, sedangkan pada
interpolasi polinomial, fungsi yang digunakan adalah sebuah polinomial dengan derajat yang lebih tinggi. Di bawah ini ditunjukkan polinomial derajat
enam yang melalui tujuh buah titik-titik data pada contoh sebelumnya.
fx = −0.0001521x6 − 0.003130x5 + 0.07321x4 − 0.3577x3 + 0.2255x2 +
0.9038x
Dengan memasukkan x = 2.5 pada persamaan di atas, maka nilai fx adalah 0.5965.
Pada umumnya, jika kita memiliki n titik data, maka fungsi polinomial yang melalui semua titik data akan berderajat n
−1. Kesalahan pada interpolasi polinomial adalah proporsional terhadap jarak berpangkat n
diantara titik-titik data. Karena interpolan adalah polinomial maka bersifat dapat didiferensiabel tak berhingga infinitely differentiable. Kelemahan dari
interpolasi polinomial adalah proses komputasinya yang kompleks computationally expensive. Selain itu hasil akhir interpolasi polinomial
tidak terlalu akurat khususnya pada titik-titik ujung phenomena Runge.
66
Kelemahan ini diatasi dengan interpolasi spline. Interpolasi linier menggunakan sebuah fungsi linier untuk setiap interval [xk, xk +1].
Interpolasi spline menggunakan polinomial berderajat rendah untuk setiap interval dan memilih bagian atau potongan interval sedemikian rupa yang
memenuhi fit dengan tepat smooth. Fungsi yang dihasilkan disebut fungsi spline. Di bawah ini ditunjukkan fungsi natural cubic spline yang bersifat
differensiabel kontinu. Turunan pertama bernilai nol pada titik-titik ujung.
interpolasi spline menghasilkan kesalahan yang lebih kecil dibandingkan dengan interpolasi linier dan hasil interpolaso lebih halus. Walaupun demikian,
interpolannya lebih mudah dievaluasi daripada polinomial derajat tinggi yang digunakan pada interpolasi polinomial. Pada gambar 2.11 berikut menunjukkan
visualisasi jenis interpolasi.
Gambar 2.11 Ilustrasi Hasil Proses Interpolasi Linier, Polinomial dan Spline
2.16.3 Interpolasi Citra Digital
