b
i
= koefisien b ke i ;
= rata - rata respon di titik pusat iy = hasil perkalian X’Y
; v
1
= df pembilang r
i
= replikasi perlakuan i ;
v
2
= df error = nilai fungsi perlakuan i
3.7. Metode Steepest Descent
Metode Steepest Descent pertama sekali diusulkan oleh Box dan Wilson pada tahun 1951 dan telah dikembangkan lebih lanjut oleh Box dan lainnya.
Metode Steepest Descent adalah suatu prosedur pergerakan fungsi pada titik yang diberikan yaitu x dengan arah kemiringan negatif yang akan memberikan nilai
maksimum lokal dari fungsi yang diminimisasi. Setiap faktor yang dilibatkan pada penelitian awal, ketika penelitian berakhir, penafsiran polinomial terhadap
fungsi respon permukaan disesuaikan terhadap hasil dan digunakan untuk menentukan arah eksperimen berikutnya. Apabila pendekatan ini digunakan
untuk memaksimalkan suatu fungsi maka dinamakan metode steepest ascent sedangkan apabila digunakan untuk meminimumkan suatu fungsi maka disebut
steepest descent. Sebagaimana dalam pendekatan satu faktor, nilai maksimum ditemukan
melalui berbagai seri eksperimen dan hasil yang diperoleh adalah melalui percobaan yang terdahulu, ketika suatu percobaan telah selesai, wilayah dari
percobaan berikutnya diubah ke level yang lain. Level selanjutnya yang dipilih adalah level yang memberikan respon yang memberikan hasil minimum.
Jika suatu titik pusat pada percobaan pertama ditetapkan pada titik awal 0,
Universitas Sumatera Utara
0,.., 0, masalah terletak pada pergerakan selanjutnya dari titik asal dengan koordinat x menuju posisi P dengan koordinat x’
1
, x’
2
,..., x’
k
, sehingga respon fx’
1
, x’
2
,..., x’
k
akan menjadi minimum. Dalam kalkulus minimisasi nilai x’
1
melalui persamaan berikut:
i i
x f
x ∂
∂ =
µ
Dalam hal ini ∂f ∂x
i
adalah turunan parsial dari fungsi terhadap x
i
dengan persamaan linier sebagai berikut: fx = b
x + b
1
x
1
+ ... + b
n
x
n
, dimana b adalah
nilai fungsi ketika fungsi berada pada titik asal dan x dengan ketetapan bernilai 1.
Dari fungsi linier diatas diperoleh bahwa:
i i
b x
f = ∂
∂
demikian perubahan x
i
pada pergerakan steepest descent adalah proporsional terhadap b
i
. Perhitungan pergerakan titik level suatu percobaan pada metode steepest descent adalah sebagai berikut:
fx = b x
+ b
1
x
1
+ b
2
x
2
+ b
3
x
3
Dari persamaan linier diatas diperoleh nilai b
i
melalui turunan parsial sebagai berikut: b1 = b1; b2 = b2; b3 = b3, dimana persamaan linier diperoleh dari
desain eksperimen dengan faktor dan level dapat dilihat pada Tabel 3.2. Faktor dan Level dalam Desain Eksperimen.
Tabel 3.2. Faktor dan Level dalam Desain Eksperimen
Faktor x
1
Faktor 1 A x
1
Faktor 2 B x
1
Faktor 3 C Level
-1 A
-1
-1 B
-1
-1 C
-1
+1 A
+1
+1 B
+1
+1 C
+1
Universitas Sumatera Utara
Perhitungan pergerakan steepest descent untuk persamaan fungsi diatas adalah sebagai berikut:
Tabel 3.3. Perhitungan Pergerakan Level pada Metode Steepest Descent Keterangan
x
1
x
2
x
3
1 Perubahan relatif pada unit desain b
i
b
1
b
2
b
3
2 Unit origin 1 unit desain A
+1
-A
-1
2 B
+1
-B
-1
2 C
+1
-C
-1
2 3 Perubahan relatif pada unit origin
1
1
2
1
1
2
2
2
1
3
2
3
4 Perubahan per n pada variabel i ∆
3
1
3
1
3
2
3
1
3
3
3
1
Pergerakan steepest descent Hasil Percobaan
5 Level awal origin=o A
+1
-A
-1
2 B
+1
-B
-1
2 C
+1
-C
-1
2 6 Level pergerakan origin + n
∆ o
1
+ n ∆
o
2
+ n ∆
o
3
+ n ∆
y
n
Tujuan dari penerapan metode steepest descent adalah untuk menentukan titik origin level percobaan berikutnya. Dasar dari penentuan titik origin level
percobaan berikutnya adalah berdasarkan hasil percobaan dengan level yang diperoleh dari pergerakan steepest descent dengan jumlah cacat paling rendah.
Penentuan level origin menggunakan teknik interpolasi sebagai berikut:
2
1 ,
1 −
+
∆ −
= x
x x
origim i
i
ξ ; ξ
i
= nilai faktor i
Universitas Sumatera Utara
3.8. Model Orde Kedua
