Perhitungan Fluks secara Numeris dalam Metode Volume Hingga

J. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs

Pada subbab ini akan dijelaskan metode volume hingga Lax Friedrichs. Bagian pertama akan dijelaskan perhitungan fluks secara numeris dalam metode volume hingga. Bagian kedua akan dijelaskan penyelesaian masalah Riemann menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs.

1. Perhitungan Fluks secara Numeris dalam Metode Volume Hingga

Dipandang persamaan diferensial parsial hukum kekekalan yang bersifat hiperbolik + = atau ditulis , + , = . Misalkan domain ruang didiskretkan menjadi sebanyak berhingga kontrol volume atau sel sebagai berikut: dengan ∆ = + − atau ∆ = + − − . Domain waktu didiskretkan menjadi = ∙ ∆ , = , , , , . .. Selanjutnya, misalkan adalah pendekatan dari rata-rata volume kuantitas , dalam interval ruang ke- diwaktu , yaitu ≈ ∆ ∫ , �+ �− . − + − + + − Misalkan pada + adalah pendekatan dari rata-rata fluks , di titik + dalam interval waktu [ , + ], yaitu: + ≈ ∆ ∫ + , �+ � . Dari hukum kekekalan laju perubahan kuantitas massa dinyatakan oleh: ∫ , = − [ + , − − , ] �+ �− , dengan nilai-nilai pendekatan diperoleh: + − ∆ = − + − − ∆ , atau ditulis: + = − ∆ ∆ + − − . Persamaan di atas adalah skema metode volume hingga untuk + = . Diketahui nilai merupakan kuantitas numeris di semua titik pada waktu . Oleh sebab itu, fluks di titik pada waktu juga diketahui, yaitu ≈ , ≈ Di titik-titik + , fluks dapat dihitung menggunakan beberapa pendekatan 1. Fluks tak stabil + ≈ [ + + ], sehingga skema metode volume hingga menjadi: + = − ∆ ∆ [ + + − − − ] + = − ∆ ∆ [ + − − ], namun skema metode volume hingga 3.9 ini tidak stabil. 2. Fluks Lax-Friedrichs Misal diketahui persamaan + = . Akan diselesaikan menggunakan metode volume hingga + = − ∆ ∆ + − − . 3.62 Dengan menggunakan fluks Lax-Friedrichs akan dicari nilai + dan − , yaitu + = + + − ∆ ∆ + − , 3.63 − = + − − ∆ ∆ − − . 3.64 Substitusi persamaan 3.63 dan 3.64 ke persamaan 3.62 + = − ∆ ∆ + + − ∆ ∆ + − − + − − ∆ ∆ − − , + = − ∆ ∆ + + − ∆ ∆ + + ∆ ∆ − − − + ∆ ∆ − ∆ ∆ − , PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI + = − ∆ ∆ + − ∆ ∆ + + ∆ ∆ − − + ∆ ∆ − ∆ ∆ − , + = − ∆ ∆ + − ∆ ∆ + + ∆ ∆ − − − ∆ ∆ − , + = − ∆ ∆ + + + − + ∆ ∆ − + − , + = − ∆ ∆ + + + + ∆ ∆ − + − , Sehingga skema metode volume hingga Lax-Friedrichs untuk persamaan + = , yaitu + = + + − − ∆ ∆ + − − . Skema Lax-Friedrichs memodifikasi skema volume hingga tak stabil 3.61, yaitu ≈ + + − , sehingga diperoleh: + = + + − − ∆ ∆ [ + − − ]. 3.65 Skema Lax-Friedrichs 3.13 ini stabil untuk ∆ yang cukup kecil. 3. Fluks Upwind Fluks upwind cocok untuk masalah yang sudah diketahui arah rambatan gelombang. Misalnya akan diselesaikan persamaan diferensial parsial + = , 3.66 dengan konstan positif arah rambat gelombang ke kanan. Dengan menggunakan flux upwind akan dicari nilai + , yaitu + ≈ , , + ≈ ∙ , , + ≈ ∙ . Selanjutnya akan dicari nilai − , yaitu − ≈ − , , − ≈ ∙ − , , − ≈ ∙ − . Dengan demikian skema upwind untuk persamaan diferensial parsial 3.66 adalah + = − ∆ ∆ + − − , + = − ∆ ∆ ∙ − ∙ − , + = − ∆ ∆ − − . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

2. Penyelesaian Masalah Riemann menggunakan Metode Volume Hingga