BAB III PERSAMAAN AKUSTIK DAN METODE NUMERISNYA
Pada bab ini akan dibahas hukum kekekalan, hukum kekekalan dan persamaan diferensial, persamaan adveksi, persamaan nonlinear dalam dinamika
fluida, akustik linear, gelombang suara, persamaan gelombang orde kedua, pecahnya membran dalam pipa, metode beda hingga, metode volume hingga Lax-
Friedrichs, serta residual lokal lemah.
A. Hukum Kekekalan
Sebuah sistem linear berbentuk
+ � = , 3.1
dikatakan hiperbolik jika × matriks � dapat didiagonalisasi dengan nilai
eigen real. Contoh paling sederhana dari hukum kekekalan satu dimensi adalah persamaan diferensial parsial
, + ,
= dengan
adalah fungsi fluks. Dapat ditulis ulang dalam bentuk kuasilinear +
′
= . 3.2
Bahkan masalah linear , + �
, = 3.3
adalah hukum kekekalan dengan fungsi fluks linear = � . Banyak masalah
fisika menimbulkan hukum kekekalan nonlinear dengan adalah fungsi
nonlinear dari , sebuah vektor dari kuantitas kekal. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Hukum kekekalan biasanya muncul paling alami dari hukum-hukum fisika dalam bentuk integral, yang menyatakan bahwa untuk setiap dua titik
dan ,
∫ ,
= , −
, . 3.4
Setiap komponen dari mengukur massa jenis beberapa kuantitas kekal, dan persamaan 3.4 hanya menyatakan bahwa massa total kuantitas ini diantara dua
titik dapat berubah hanya karena fluks melewati titik akhir. Sebuah alat mendasar dalam pengembangan metode volume hingga adalah
masalah Riemann, yang merupakan persamaan hiperbolik bersama-sama dengan data awal khusus. Data yang sesepenggal konstan dengan lompatan diskontinuitas
di beberapa titik, misalkan =
, = {
jika , jika .
3.5 Jika
−
dan merupakan rata-rata sel di dua sel grid berdekatan pada grid
volume hingga, maka dengan memecahkan masalah Riemann dengan =
−
dan = , akan diperoleh informasi yang dapat digunakan untuk menghitung
fluks numeris dan memperbarui rata-rata sel selama langkah waktu. Untuk sistem hiperbolik linear, masalah Riemann mudah diselesaikan dengan nilai eigen dan
vektor eigen matriks �.
B. Hukum Kekekalan dan Persamaan Diferensial
Untuk melihat bagaimana hukum kekekalan timbul dari prinsip-prinsip fisika, akan dimulai dengan mempertimbangkan masalah dinamika fluida, dimana
gas atau cairan mengalir melalui pipa satu dimensi dengan kecepatan yang dikenal , , yang diasumsikan bervariasi hanya atas jarak sepanjang pipa dan waktu
. Biasanya masalah dinamika fluida harus menentukan gerak cairan, yaitu fungsi kecepatan
, sebagai bagian dari solusi, tapi akan diasumsikan ini sudah diketahui dan hanya model konsentrasi atau kepadatan beberapa zat kimia dalam
cairan ini. Misalkan , merupakan konsentrasi pelacak, fungsi ini yang akan
ditentukan. Secara umum, konsentrasi harus diukur dalam satuan massa per satuan
volume, misalnya gram per meter kubik, tetapi dalam mempelajari pipa satu dimensi dengan variasi hanya di , dianggap yang diukur dalam satuan berat per
satuan panjang, misalnya gram per meter. Kepadatan ini dapat diperoleh dengan mengalikan kepadatan tiga dimensi dengan luas penampang pipa satuan meter
persegi. Kemudian
∫ ,
3.6 merupakan massa total pelacak di bagian pipa antara
dan pada waktu , dan
memiliki satuan massa. Perhatikan bagian pipa
dan bahwa integral 3.6 berubah terhadap waktu. Misalkan
menjadi tingkat dimana pelacak mengalir PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
melewati titik tetap untuk
= , diukur dalam gram per detik. Akan digunakan konvensi yang
untuk aliran yang mengalir ke kanan, sedangkan
berarti untuk fluks ke kiri, dari | | gram per detik. Massa
total di bagian [ , ] berubah hanya karena fluks pada titik akhir, diperoleh
∫ ,
= −
. 3.7
Perhatikan bahwa + dan
− keduanya merupakan fluks.
Persamaan 3.7 adalah dasar bentuk integral dari hukum kekekalan. Laju perubahan dari massa total melalui titik akhir ini adalah dasar dari kekekalan.
Akan ditentukan fluks fungsi terkait dengan
, , sehingga akan diperoleh persamaan yang bisa dipecahkan untuk . Dalam kasus aliran fluida,
fluks pada setiap titik pada waktu hanya diberikan oleh massa jenis , dan
kecepatan , :
fluks pada , = ,
, . 3.8
Kecepatan disini memberitahukan seberapa cepat partikel bergerak melewati titik dalam meter per detik, dan massa jenis menerangkan berapa gram cairan
kimia yang terkandung, sehingga produk diukur dalam gram per detik. Misalnya
, adalah fungsi yang diketahui, maka fungsi fluks bisa ditulis sebagai
fluks = , , =
, .
3.9 Secara khusus, jika kecepatan tidak bergantung pada dan , sehingga
, = ̅ adalah sebuah konstan, maka dapat ditulis
fluks = = ̅ .
3.10 Disini, fluks pada setiap titik dan waktu dapat ditentukan langsung dari nilai
kuantitas kekal pada titik, dan tidak tergantung sama sekali pada lokasi dalam ruang waktu. Dalam hal ini, persamaan disebut otonom. Persamaan otonom
banyak muncul dalam banyak aplikasi dan lebih sederhana untuk menangani persamaan non otonom atau variabel-koefisien. Untuk persamaan otonom fluks
hanya bergantung pada nilai , maka hukum kekekalan 3.7 ditulis ulang sebagai
∫ ,
= , −
, . 3.11
Sisi kanan dari persamaan ini dapat ditulis ulang dengan menggunakan notasi standar dari kalkulus:
∫ ,
= − ,
| . 3.12
Asumsikan bahwa dan adalah fungsi halus, maka persamaan dapat ditulis ulang menjadi
∫ ,
= − ∫ ,
, 3.13
dengan beberapa modifikasi lebih lanjut,
∫ [ , +
, ]
= . 3.14
Misalnya integral 3.14 harus bernilai nol untuk semua nilai dan
, maka integral harus identik dengan nol. Persamaan diferensial menjadi
, + , = .
3.15 Persamaan 3.15 disebut bentuk diferensial hukum kekekalan, dan bisa ditulis
ulang menjadi: , +
, = .
3.16 Berikut merupakan contoh dari persamaan diferensial parsial hukum kekekalan:
1. Persamaan adveksi dengan = dan
= . yaitu: +
= , dengan konstan.
Persamaan di atas memodelkan aliran zat dengan kecepatan . 2.
Persamaan akustik linear dengan ̅ = [ ] dan ̅ ̅ = [
+
�
+ ], dengan , , � konstan.
Persamaan akustik ditulis ̅ + ̅ ̅ =
atau [ ] + [
+ �
+ ] =
atau
[ ] + [ +
� + ] [ ] =
Disini menyatakan tekanan dan menyatakan kecepatan dalam aliran. 3.
Persamaan gelombang air dangkal dengan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
̅ = [ ℎℎ] dan ̅ ̅ = [ ℎ
ℎ + gℎ ] = , disini ℎ , menyatakan kedalaman air,
, menyatakan kecepatan aliran, dan g adalah percepatan gravitasi bumi.
C. Persamaan Adveksi