Himpunan titik-titik ini disebut range influence titik , yang diilustrasikan pada
Gambar 2.4 b.
J. Kondisi CFL
Kondisi CFL merupakan syarat perlu yang harus dipenuhi oleh metode volume hingga atau metode beda hingga jika diinginkan solusi yang stabil dan
konvergen ke solusi persamaan diferensial, yaitu ketika grid diperkecil atau ∆
diperkecil. Dengan metode eksplisit 2.22 nilai
+
hanya bergantung pada tiga nilai
−
, , dan
+
pada waktu sebelumnya. Misal pengaplikasian metode tersebut untuk persamaan adveksi
+ ̅ = dengan ̅ sehingga penyelesaian eksaknya hanya didefinisikan pada kecepatan
̅ dan bergerak sejauh ̅∆ dalam satu langkah waktu. Gambar 2.5 a menunjukkan situasi dimana
̅∆ ∆ , sehingga informasi yang menyebar kurang dari satu grid sel dalam langkah waktu. Dalam hal ini, akan mendefinisikan fluks pada
− ⁄
di
−
dan saja. Pada Gambar 2.5 b, sebuah langkah waktu yang besar dengan
̅∆ ∆ . Pada kasus ini, fluks pada
− ⁄
jelas bergantung pada nilai
−
, dan menjadi rata-rata sel baru
+
. Metode 2.22 akan tidak stabil ketika diaplikasikan untuk langkah waktu yang besar, tidak peduli bagaimana fluks
2.21 harus ditentukan, jika fluks numeris ini hanya bergantung pada
−
dan .
Hal ini merupakan akibat dari kondisi CFL, yang dinamai atas Courant, Friedrichs, dan Lewy. Mereka menulis paper pertama mengenai metode beda
hingga untuk persamaan diferensial parsial. Mereka menggunakan metode beda hingga sebagai alat analitik untuk membuktikan keberadaan dari solusi eksak
persamaan diferensial parsial. Idenya adalah untuk mendefinisikan barisan dari aproksimasi penyelesaian menggunakan metode beda hingga, membuktikan
bahwa mereka konvergen ketika grid diperkecil, dan menunjukkan bahwa limit fungsinya memenuhi persamaan diferensial parsial, memberikan keberadaan dari
suatu solusi. Dalam proses membuktikan konvergensi barisan ini, mereka mengakui kondisi stabilitas yang diperlukan untuk setiap metode numeris:
Kondisi CFL: Suatu metode numeris akan konvergen hanya jika domain
dependen numerisnya memuat domain dependen sebenarnya dari persamaan diferensial parsial, setidaknya limit
∆ dan ∆ menuju ke nol.
+
− − ⁄
a
+
− − ⁄
b
−
Gambar 2.5. Karakteristik untuk persamaan adveksi, menunjukkan informasi yang mengalir ke dalam sel
selama langkah waktu tunggal. a Untuk langkah waktu yang cukup kecil, fluks pada
− ⁄
hanya bergantung pada nilai-nilai sel didekatnya, yaitu hanya bergantung pada
−
pada kasus ini ̅ . b Untuk
langkah waktu yang cukup besar, fluks akan bergantung pada nilai-nilai yang lebih jauh.
Domain dependen � �, untuk persamaan diferensial parsial
telah didefinisikan pada subbab sebelumnya. Domain dependen numeris dari metode dapat didefinisikan dengan cara yang sama sebagai himpunan titik-titik
dimana data awal mungkin dapat mempengaruhi solusi numeris pada titik �, .
Ilustrasi ini mudah untuk menggambarkan metode beda hingga dimana nilai titik demi titik dari digunakan, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.6 untuk
metode tiga titik. Pada Gambar 2.6 a terlihat bahwa bergantung pada
−
, ,
+
dan juga pada
−
, . . . ,
+
. Hanya data awal pada interval � −
∆ � + ∆ dapat mempengaruhi solusi numeris di �,
= ,
. Jika grid diperkecil dengan faktor kedua dalam ruang dan waktu
∆ = ∆ ⁄ , tapi selanjutnya akan fokus pada titik
�, , maka lihat Gambar 2.6 b bahwa aproksimasi numeris pada titik tersebut bergantung pada data awal di lebih
banyak titik pada interval � − ∆
� + ∆ . Tapi ini interval yang sama dengan sebelumnya. Jika terus menyempurnakan grid dengan rasio
∆ ∆ ⁄
≡ yang tetap, maka domain dependen numeris dari titik �, adalah � − ⁄
� + ⁄ . Agar kondisi CFL dipenuhi, domain dependen dari penyelesaian harus berada dalam interval ini. Untuk persamaan adveksi
+ ̅ = , misalnya � �, adalah titik tunggal � − ̅ , karena
�, =
̆ � − ̅ . Kondisi CFL kemudian mengharuskan � − ⁄
� − ̅ � + ⁄
dan karena
≡ | ̅∆
∆ | .
Rasio di atas disebut bilangan CFL, atau biasanya disebut bilangan Courant. Diingat bahwa
merupakan syarat perlu kestabilan; artinya meskipun syarat ini dipenuhi, syarat ini tidak menjamin suatu kestabilan. Akan tetapi metode
numeris yang stabil, pasti memenuhi syarat ini.
K. Matriks Jacobian