2. Penyelesaian Masalah Riemann menggunakan Metode Volume Hingga
Lax-Friedrichs
Akan diselesaikan masalah Riemann menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs. Persamaan diferensial parsial yang mengatur masalah Riemann
ini, yaitu + �
= , 3.67
+ � = . 3.68
Persamaan diferensial parsial ini dapat diubah ke dalam satu sistem persamaan diferensial satu variabel. Nilai didefinisikan sebagai bentuk yang nyata dari
vektor dua dimensi yang memuat nilai tekanan dan kecepatan, sedangkan matriks � yang berisi nilai massa jenis fluida dan kecepatan perambatan gelombang
tekanan pada fluida yang ditulis sebagai berikut: [ ] + [
⍴ ⍴
⁄ ] [ ] =
sehingga dapat ditulis ke dalam sistem persamaan diferensial satu persamaan + � =
3.69 Vektor
� diatas merupakan fungsi fluks pada persamaan linear yang mengatur. Fungsi fluks
� , mewakilkan fluks yang melewati titik pada waktu .
Pertama persamaan 3.69 akan diselesaikan, namun akan dilihat apa yang terjadi pada kasus satu dimensi, ketika matriks
� setara dengan sebuah konstan dan variabel setara dengan sebuah skalar variabel . Persamaan satu dimensi 3.69
sering disebut persamaan adveksi. Dipandang persamaan +
= PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
dengan adalah kecepatan adveksi dan adalah konstan. Akan diselesaikan persamaan adveksi diatas dengan menggunakan metode volume hingga Lax-
Friedrichs. +
= Karena merupakan suatu konstan, maka
+ =
3.70 Skema metode volume hingga untuk
+ = adalah
+
= −
∆ ∆
+
−
−
. Lax-Friedrichs
+
=
+
+ −
∆ ∆
+
−
+
=
+
+ −
∆ ∆
+
− untuk
−
= +
−
− ∆
∆ −
− −
= +
−
− ∆
∆ −
−
. Dengan mensubstitusi
+
dan
−
, maka skema metode volume hingga Lax- Friedrichs untuk persamaan adveksi 3.18 menjadi:
+
= −
∆ ∆
+
−
−
, PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
+
= −
∆ ∆
+
+ −
∆ ∆
+
−
− +
−
− ∆
∆ −
−
,
+
= −
∆ ∆
+
+ −
∆ ∆
+
+ ∆
∆ −
−
−
+ ∆
∆ −
∆ ∆
−
,
+
= −
∆ ∆
+
− ∆
∆
+
+ ∆
∆ −
−
+ ∆
∆ −
∆ ∆
−
,
+
= −
∆ ∆
+
+
+
− +
∆ ∆
−
− +
−
,
+
= −
∆ ∆
+
+
+
+ ∆
∆
−
+
−
, maka model volume hingga Lax-Friedrichs untuk persamaan adveksi 3.70,
yaitu:
+
=
−
+
+
− ∆
∆
+
−
−
. Gambar 3.3 menunjukkan solusi numeris untuk persamaan adveksi menggunakan
metode volume hingga Lax-Friedrichs. Pada simulasi ini digunakan =
, ∆ = . , dan ∆ = ∆ . Simulasi ini berhenti saat = .
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 3.3 Grafik persamaan adveksi menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs saat
= . ,
= , ∆ = .
, dan ∆ = ∆ . Persamaan adveksi 3.69 yang merupakan satu sistem dari dua persamaan
diferensial parsial 3.67 dan 3.68 ini sudah diselesaikan mengunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs. Selanjutnya akan diselesaikan masalah Riemann
3.67 dan 3.68 menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs. Pertama akan dicari diskritisasi dari persamaan 3.67. Skema metode volume hingga
untuk persamaan + �
= adalah
+
= −
∆ ∆
+
−
−
. 3.71
Akan dicari nilai
+
dan
−
menggunakan metode volume hingga Lax- Friedrichs, yaitu
+
=
+
+ −
∆ ∆
+
− PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
+
= �
+
+ � −
∆ ∆
+
− 3.72
dan
−
= +
−
− ∆
∆ −
− −
= �
+ �
−
− ∆
∆ −
−
. 3.73 Dengan mensubstitusi
+
dan
−
ke 3.71, maka skema metode volume hingga Lax-Friedrichs persamaan diferensial parsial 3.67 menjadi:
+
= −
∆ ∆
+
−
−
,
+
= −
∆ ∆ �
+
+ � −
∆ ∆
+
−
− �
+ �
−
− ∆
∆ −
−
+
= −
∆ ∆
�
+
+ �
− ∆
∆
+
+ ∆
∆ −
�
− �
−
+ ∆
∆ −
∆ ∆
−
,
+
= −
∆ ∆
�
+
− ∆
∆
+
+ ∆
∆ −
�
−
+ ∆
∆ −
∆ ∆
−
,
+
= −
∆ ∆
�
+
− ∆
∆
+
+ ∆
∆ −
�
−
− ∆
∆
−
,
+
= −
� ∆ ∆
+
+
+
− +
� ∆ ∆
−
+
−
, PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
+
= − � ∆
∆
+
+
+
+ � ∆
∆
−
+
−
, maka model volume hingga Lax-Friedrichs untuk persamaan diferensial parsial
3.67, yaitu:
+
=
+
+
−
− � ∆
∆
+
−
−
. 3.74
Selanjutnya akan dicari diskretisasi dari persamaan 3.16. Skema metode volume hingga untuk persamaan
+ � = . adalah
+
= −
∆ ∆
+
−
−
3.75
Akan dicari nilai
+
dan
−
menggunakan metode volume hingga Lax- Friedrichs, yaitu
+
=
+
+ −
∆ ∆
+
−
+
= �
+
+ � − ∆
∆
+
− 3.76
dan
−
= +
−
− ∆
∆ −
−
−
= � + �
−
− ∆
∆ −
−
. 3.77
Dengan mensubstitusi
+
dan
−
ke 3.75, maka skema metode volume hingga Lax-Friedrichs persamaan diferensial parsial 3.68 menjadi:
+
= −
∆ ∆
+
−
−
+
= −
∆ ∆
�
+
+ � − ∆
∆
+
−
− � + �
−
− ∆
∆ −
−
+
= −
∆ ∆ �
+
− ∆
∆
+
+ ∆
∆ − �
−
+ ∆
∆ −
∆ ∆
− +
= −
∆ ∆ �
+
− ∆
∆
+
+ ∆
∆ − �
−
− ∆
∆
− +
= −
∆ �∆
+
+
+
− +
∆ �∆
−
+
− +
= − ∆
�∆
+
+
+
+ ∆
�∆
−
+
−
maka model volume hingga Lax-Friedrichs untuk persamaan diferensial parsial 3.68, yaitu:
+
=
+
+
−
− ∆
�∆
+
−
−
. 3.78
Jadi model akustik linear, jika diselesaikan menggunakan dengan metode volume hingga Lax-Friedrichs mempunyai skema 3.73 dan 3.77.
K. Residual Lokal Lemah