̅ = [ ℎℎ] dan ̅ ̅ = [ ℎ
ℎ + gℎ ] = , disini ℎ , menyatakan kedalaman air,
, menyatakan kecepatan aliran, dan g adalah percepatan gravitasi bumi.
C. Persamaan Adveksi
Untuk fungsi fluks 3.10, hukum kekekalan 3.16 menjadi + ̅ = .
3.17 Persamaan 3.17 disebut persamaan adveksi, misalnya model adveksi dari sebuah
pelacak bersama dengan fluida. Pelacak berarti zat yang hadir dalam konsentrasi sangat kecil dalam fluida, sehingga besarnya konsentrasi tidak berpengaruh pada
dinamika fluida. Masalah satu dimensi ini konsentrasi atau massa jenis dapat dihitung dalam satuan gram per meter sepanjang pipa, sehingga
∫ ,
mengukur total massa dalam gram dalam bagian pipa. Persamaan 3.17 adalah skalar, linear, dengan koefisien konstan dan
adalah persamaan diferensial parsial jenis hiperbolik. Sebarang fungsi halus dengan bentuk
, = ̃ − ̅ 3.18
memenuhi persamaan diferensial 3.17, dan pada kenyataannya setiap solusi untuk 3.17 adalah fungsi sebarang berbentuk
̃. Perhatikan bahwa , adalah
konstan sepanjang sinar garis dalam ruang waktu − ̅ = konstan. Misalnya,
sepanjang sinar garis �
= + ̅ nilai dari � , sama dengan ̃
. Nilai dari dengan kecepatan konstan
̅, karena fluida pada pipa dan karena PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
massa jenis dari pelacak bergerak bersama fluida yang merupakan adveksi dengan kecepatan konstan. Sinar garis
� disebut karakteristik dari persamaan. Untuk persamaan 3.17, terlihat bahwa sepanjang
� turunan terhadap waktu � , adalah
� , = � , + �′
� , =
+ ̅ = .
3.19 dan persamaan 3.17 menghasilkan sebuah solusi trivial dari persamaan
diferensial biasa
� �
= , dengan = � , . Ini mengarah pada
kesimpulan bahwa adalah konstan sepanjang karakteristik. Untuk menentukan solusi khusus 3.17, diperlukan informasi lebih lanjut
untuk menentukan ̅ fungsi di 3.18, yaitu kondisi awal dan mungkin kondisi
batas untuk persamaan ini. Pertama perhatikan kasus pipa panjang tak terhingga tanpa batas, sehingga 3.17 berlaku untuk
−∞ ∞. Kemudian untuk menentukan
, untuk semua waktu dibutuhkan kondisi awal pada saat , yaitu massa jenis awal distribusi pada waktu tertentu. Misal diketahui
, = ̆
, 3.20
dengan ̆ adalah fungsi yang diberikan. Kemudian akan dicari persamaan
karakteristik dari persamaan 3.17 + ̅ = ,
− ∞ ∞ Persamaan karakteristiknya:
= ̅ = . Dari
= ̅ ,
∫ = ∫ ̅ ,
= ̅ + , kedua ruas dikalikan dengan
̅, sehingga ̅ = + ̅ ,
kedua ruas dijumlahkan dengan , lalu dikalikan dengan −
− ̅ = −̅ , sehingga diperoleh persamaan di bawah ini, dengan sebarang konstan
− ̅ − = .
Dari:
= ,
= , kedua ruas diintegralkan, sehingga
= . Solusi umum
� , =
� − ̅ − ,
= , = ̆ − ̅ −
untuk .
Jika pipa memiliki panjang terbatas , maka harus ditentukan
fungsi waktu dari massa jenis pelacak pada akhir aliran. Misalnya, jika ̅
maka harus ditentukan kondisi batas di = , misalkan
, = untuk
dengan ditambahkan ke kondisi awal , = ̆
untuk .
Sehingga solusinya menjadi:
, = { −
− ̅
jika + ̅ − ,
̆ − ̅ − jika + ̅ −
. Perhatikan bahwa tidak diperlukan kondisi batas di batas luar aliran
= pada kenyataannya tidak bisa, sebab massa jenis sepenuhnya ditentukan oleh data yang
sudah diberikan. Dengan kata lain ̅ , kemudian mengalir ke kiri diperlukan
a b
Gambar 3.1. Solusi persamaan adveksi konstan sepanjang karakteristik. Ketika menyelesaikan persamaan ini pada interval
[ , ], diperlukan kondisi batas pada = jika ̅ yang ditunjukkan pada gambar a, atau pada = jika ̅
yang ditunjukkan pada gambar b. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
kondisi batas di = bukan di = . Akan diambil waktu awal menjadi =
untuk menyederhanakan notasi.
D. Persamaan Nonlinear dalam Dinamika Fluida
