kondisi batas di = bukan di = . Akan diambil waktu awal menjadi =
untuk menyederhanakan notasi.
D. Persamaan Nonlinear dalam Dinamika Fluida
Dalam model aliran pipa yang dibahas di atas, fungsi , mewakili
massa jenis beberapa pelacak yang dilakukan bersama dengan cairan, tetapi hadir dalam jumlah kecil sehingga distribusi tidak berpengaruh pada kecepatan fluida.
Dengan mempertimbangkan massa jenis cairan itu sendiri, gram per meter, misalnya untuk masalah satu dimensi ini. Akan dinotasikan massa jenis fluida
oleh simbol standar � , . Jika cairan mampat, maka � , adalah konstan dan
masalah satu dimensi ini tidak terlalu menarik. Diasumsikan bahwa kecepatan ̅
adalah konstan, maka massa jenis � akan memenuhi persamaan adveksi sama
seperti sebelumnya dengan fluks adalah ̅� dan ̅ adalah konstan
� + ̅� = . 3.21
Sebelumnya diasumsikan massa jenis pelacak tidak berpengaruh pada kecepatan, hal ini tidak lagi terjadi. Sebaliknya, kecepatan
, yang telah diketahui dan akan dihitung bersama dengan
� , . Fluks massa jenis masih mengambil bentuk 3.8, dan hukum kekekalan
� memiliki bentuk � + �
= , 3.22
yang cocok dengan 3.21 hanya jika adalah konstan. Persamaan ini umumnya disebut persamaan kontinuitas dalam dinamika fluida, dan model konservasi
massa. Produk � ,
, memberikan massa jenis momentum, dalam arti PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
bahwa integral dari � antara dua titik dan menghasilkan momentum total
dalam interval ini, dan dapat berubah hanya karena fluks momentum melalui titik akhir dari interval. Momentum fluks melewati setiap titik terdiri dari dua
bagian. Pertama momentum dibawa melewati titik ini bersama dengan gerakan cairan. Untuk setiap fungsi massa jenis fluks ini memiliki bentuk
, untuk momentum
= � dikontribusi ke fluks � = � . Pada dasarnya ini adalah
fluks adveksi, meskipun dalam kasus dimana kuantitas adveksi adalah kecepatan atau momentum dari cairan itu sendiri, fenomena ini sering disebut sebagai
konveksi daripada adveksi. Selain fluks konvektif makroskopik ini, ada juga momentum fluks
mikroskopis karena tekanan dari cairan. Ini masuk ke dalam fluks momentum, yang sekarang menjadi
fluks momentum = � + . Bentuk integral dari hukum kekekalan 3.12 kemudian
∫ � , ,
= −[� + ] . 3.23
Diasumsikan �, dan halus, maka diperoleh persamaan diferensial
� + � +
= , 3.24
model kekekalan dari momentum. Gabungkan 3.24 dengan persamaan kontinuitas 3.22, maka terdapat dua sistem hukum kekekalan untuk kekekalan
massa dan momentum. Ini merupakan sepasang persamaan, karena � dan �
muncul di keduanya. Kedua persamaan tersebut juga jelas nonlinear, karena PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
produk yang tidak diketahui muncul. Dalam mengembangkan hukum kekekalan � telah diperkenalkan yang diketahui, tekanan
, . Tekanan bukanlah kuantitas kekal, namun akan diperkenalkan variabel ke empat, yaitu energi dan
persamaan tambahan untuk kekekalan energi. Massa jenis dari energi akan dinotasikan dengan
, . Ini tetap tidak bisa menghitung tekanan, dan untuk menutup sistem harus ditambahkan persamaan state, persamaan aljabar yang
menentukan tekanan pada setiap titik dalam hal massa, momentum dan energi pada titik.
Misalkan jenis khusus dari aliran yang dapat diturunkan kekekalan persamaan energi dan menggunakan persamaan yang sederhana dari state yang
menentukan dari � saja. Misalnya jika ada gelombang kejut yang hadir, maka
seringkali benar untuk mengasumsikan bahwa entropi gas adalah konstan. Aliran seperti ini disebut isentropik. Asumsi ini wajar khususnya jika ingin menurunkan
persamaan linear akustik. Dalam hal ini terlihat gerakan yang sangat kecil amplitudo gelombang suara dan aliran tetap isentropik. Dalam kasus isentropik
persamaan state = ̂�
�
≡ � , 3.25
dengan ̂ dan � yang keduanya merupakan konstanta dengan � ≈ . untuk
udara. Lebih umum dapat diasumsikan persamaan state berbentuk
= � , 3.26
dengan � adalah fungsi yang diberikan untuk menentukan tekanan dari massa
jenis. Agar lebih realistis dapat diasumsikan bahwa
′
� untuk � . 3.27
Meningkatkan densitas gas akan menyebabkan peningkatan yang sesuai dalam tekanan. Perhatikan persamaan isentropik dari state 3.25 memiliki sifat ini.
Asumsi 3.27 akan diperlukan untuk mendapatkan sistem hiperbolik. Menggunakan persamaan 3.26 di 3.24, bersama-sama dengan
persamaan kontinuitas 3.22 memberikan sebuah sistem tertutup dari dua persamaan:
� + � = ,
3.28 �
+ � + � = .
Ini merupakan pasangan sistem dari dua hukum kekekalan nonlinear, yang mana dapat ditulis dalam bentuk
+ =
3.29 Jika didefinisikan
= [ �
� ] = [ ] , = [
� � + � ] = [
⁄ + ].
3.30 Lebih umum, sebuah sistem hukum kekekalan berdimensi
mengambil bentuk 3.29 dengan
ℝ dan : ℝ ℝ . Komponen adalah fluks dari
masing masing komponen dari , dan secara umum setiap fluks mungkin
tergantung pada nilai-nilai salah satu atau semua dari jumlah kuantitas kekal pada titik itu.
Bentuk diferensial hukum kekekalan diasumsikan halus, dari bentuk fundamental integral. Perhatikan bahwa ketika halus, persamaan 3.29 dapat
ditulis sebagai +
′
= , 3.31
dengan ′
adalah matriks Jacobian dengan entry , diberikan oleh ⁄
. Bentuk 3.31 disebut bentuk quasilinear dari persamaan, karena menyerupai
sistem linear. + � = ,
3.32 dengan
� adalah sebuah matriks × . Ada hubungan erat antara teori-teori ini, dan matriks Jacobian
′ berperan penting dalam teori nonlinear.
E. Akustik Linear
Kategori