tinggi = ,
[
−
, ], = , , … , . Luas persegi panjang ke- pada Gambar. 2.1 b adalah
∆ = ∆ , sehingga
luas daerah yang dihampiri oleh buah persegi panjang adalah
Luas ≈ ∑ ∆
=
.
3. Nilai eksak luas daerah dicapai bila
∞. Untuk partisi yang setiap selang bagiannya sama panjang,
∞ sama artinya dengan || || , sehingga
Luas = lim
∞
∑ ∆ = lim
||�||
∑ ∆
= =
.
Definisi 2.2
Integral tentu dari fungsi pada selang tertutup [ , ], ditulis dengan
lambang ∫
, didefinisikan sebagai ∫
= lim
||�||
∑ ∆
=
.
D. Penurunan Numeris
Salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan diferensial adalah dengan menggunakan metode beda hingga. Metode ini menggunakan pendekatan
ekspansi Taylor di titik acuannya. Deret Taylor dapat memberikan nilai hampiran bagi suatu fungsi pada suatu titik, berdasarkan nilai fungsi dan derivatifnya,
dipandang deret Taylor pada persamaan 2.1, yaitu: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
+
≈ +
′
ℎ +
′′
ℎ +
′′′
ℎ + + ℎ
+ ,
2.1
dengan adalah:
=
+
� + ℎ
+
, ℎ =
+
− . Penurunan numeris pada metode beda hingga dapat diambil salah satu dari
tiga pendekatan, yaitu 1.
Beda maju Dipandang
′
=
+
−
+
− +
+
− 2.2
atau
′
= ∆
ℎ + ℎ , 2.3
dengan ∆ =
+
− .
Persamaan 2.2 dan 2.3 menggunakan data ke- dan + untuk menghampiri
turunan pertama dari . Persamaan ini disebut aproksimasi diferensiasi maju
dari turunan pertama.
ℎ turunan sebenarnya
aproksimasi
+
Gambar 2.2 a. Grafik aproksimasi beda maju
2. Beda mundur
Dipandang
−
= −
′
ℎ +
′′
ℎ − 2.4
Persamaan 2.4 merupakan deret Taylor yang diperluas mundur untuk menghitung nilai sebelumnya menggunakan nilai sekarang. Deret 2.4 dipotong
setelah suku turunan pertama, maka diperoleh:
′
≈ −
−
ℎ + ℎ = ℎ + ℎ ,
2.5 dengan
= −
−
. Persamaan 2.5 merupakan aproksimasi diferensiasi beda mundur dari turunan
pertama.
3. Beda Pusat
Akan dikurangkan persamaan 2.29 dari deret maju Taylor 2.26, maka:
−
−
+
= −
−
′
ℎ +
′
ℎ +
′′
ℎ − ′′
ℎ −
′′′
ℎ −
ℎ turunan sebenarnya
aproksimasi
−
Gambar 2.2 b. Grafik aproksimasi beda mundur
Setelah beberapa perhitungan dan operasi aljabar, maka diperoleh
+
=
−
+
′
ℎ + ′′′
ℎ + 2.6
′
=
+
−
−
ℎ −
′′′
ℎ + 2.7
atau
′
=
+
−
−
ℎ − ℎ .
2.8 Persamaan 2.8 merupakan aproksimasi diferensiasi tengah pusat dari turunan
pertama.
Contoh 2.8
Gunakan aproksimasi beda maju, beda mundur dan beda pusat untuk menghampiri turunan pertama dari:
= − . − .
− . − .
+ . Pada titik
= . dengan ukuran langkah ℎ = . . Turunan dari
dapat dihitung secara langsung, yakni:
′
= − . − .
− . − . , sehingga nilai eksak
′
. = − . .
Untuk ℎ = . , maka:
ℎ turunan sebenarnya
aproksimasi
+ −
Gambar 2.2 c. Grafik aproksimasi beda pusat
−
=
−
= . = .
= .
+
=
+
= . Aproksimasi beda maju dari persamaan 2.27, yaitu:
′
. = . − .
. = − .
dengan error relatif sebesar � = − . .
Aproksimasi beda mundur dari persamaan 2.30, yaitu:
′
. ≈ .
− . .
= − . dengan error relatif sebesar
� = . .
Aproksimasi beda pusat dari persamaan 2.33, yaitu:
′
. ≈ . − .
= − dengan error relatif sebesar
� = − . . Terlihat bahwa aproksimasi beda pusat memberikan hampiran bagi
turunan pertama dengan error yang paling kecil, artinya aproksimasi beda pusat ini memberikan penyelesaian yang paling mendekati nilai eksaknya. Teori tentang
penurunan numeris ini merujuk dari buku Setiawan 2006
E. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
