F. Gelombang Suara
Jika dipecahkan persamaan akustik linear dalam gas stasioner, diharapkan solusi terdiri dari gelombang suara merambat ke kiri dan kanan. Karena
persamaan linear, diharapkan bahwa solusi umum terdiri dari superposisi linear dari gelombang bergerak di setiap arah, dan setiap gelombang merambat dengan
kecepatan konstan kecepatan suara dengan bentuknya tidak berubah. Hal ini menunjukkan solusi untuk sistem 3.42 berbentuk
, = ̅ − untuk sebuah kecepatan , dengan
̅ � adalah sebuah fungsi dari satu variabel.
Dengan ansatz ini dihitung bahwa
, = − ̅
′
− ,
, = ̅
′
− ,
dan persamaan + � = diturunkan menjadi
�̅
′
− = ̅
′
− ,
3.43 dengan adalah sebuah skalar, sedangkan
� adalah sebuah matriks. Ini hanya mungkin jika sebuah nilai eigen dari matriks
�, dan ̅ � juga menjadi vektor eigen yang terkait dari
� untuk setiap nilai �.
Untuk matriks � di 3.41 dengan mudah dihitung bahwa nilai eigen
� = − dan � = + , 3.44
dengan = √
� ⁄ ,
3.45 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
yang merupakan kecepatan suara dalam gas. Seperti yang diharapkan, gelombang dapat merambat di kedua arah dengan kecepatan ini. Dari persamaan 3.39,
terlihat bahwa = √ ′ � .
3.46 Untuk koefisien matriks
� yang lebih umum 3.40 dengan ≠ , nilai
eigen yang ditemukan � =
− dan � = + .
3.47 Ketika fluida bergerak dengan kecepatan
, gelombang suara masih merambat dengan kecepatan
± relatif terhadap fluida, dan pada kecepatan � dan � relatif terhadap a fixed observer.
Terlepas dari nilai , vektor eigen dari koefisien matriks yaitu
= [−� ] , = [� ].
3.48 Setiap kelipatan skalar dari setiap vektor akan menjadi vektor eigen. Dipilih
normalisasi tertentu 2.58 karena kuantitas ≡ �
3.49 adalah sebuah parameter penting pada akustik, yang biasa disebut impedance of
the medium. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
G. Persamaan Gelombang Orde Kedua
Dari persamaan akustik 3.42 dapat dieliminasi kecepatan dan
diperoleh sebuah persamaan orde kedua untuk tekanan. Turunan persamaan tekanan terhadap dan persamaan kecepatan terhadap kemudian dikombinasikan
memberikan
= − = −
= � =
.
Ini menghasilkan persamaan gelombang orde kedua bentuk klasik =
≡ konstan . 3.50
Ini juga merupakan persamaan hiperbolik sesuai dengan klasifikasi standar persamaan diferensial orde kedua. Persamaan orde kedua dari 3.50, dapat
diturunkan sistem hiperbolik orde pertama oleh definisi variabel baru = , = − ,
jadi 3.50 menjadi +
= , sedangkan persamaan turunan parsial campuran memberikan
+ = . Dua persamaan ini diambil bersama-sama
yang memberikan sistem + �̃ = , dengan matriks koefisien
�̃ = [ ].
3.51 Matriks ini mirip dengan matriks
� dari 3.41, yang berarti bahwa ada kesamaan transformasi
�̃ = �
−
yang berkaitan dengan dua matriks. Matriks berhubungan dengan dua himpunan dari variabel dan mengarah ke perubahan
yang sesuai dalam matriks vektor eigen, sementara nilai eigen dari dua matriks adalah sama,
± .
H. Masalah Pecahnya Membran dalam Pipa
Kategori