−
=
−
= . = .
= .
+
=
+
= . Aproksimasi beda maju dari persamaan 2.27, yaitu:
′
. = . − .
. = − .
dengan error relatif sebesar � = − . .
Aproksimasi beda mundur dari persamaan 2.30, yaitu:
′
. ≈ .
− . .
= − . dengan error relatif sebesar
� = . .
Aproksimasi beda pusat dari persamaan 2.33, yaitu:
′
. ≈ . − .
= − dengan error relatif sebesar
� = − . . Terlihat bahwa aproksimasi beda pusat memberikan hampiran bagi
turunan pertama dengan error yang paling kecil, artinya aproksimasi beda pusat ini memberikan penyelesaian yang paling mendekati nilai eksaknya. Teori tentang
penurunan numeris ini merujuk dari buku Setiawan 2006
E. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Bagian ini menjelaskan pengertian nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks.
Definisi 2.3 Leon, 2001
Misalkan � adalah suatu matriks × . Skalar � disebut sebagai suatu
nilai eigen atau nilai karakteristik dari � jika terdapat suatu vektor taknol �,
sehingga �� = ��. Vektor � disebut vektor eigen atau vektor karakteristik dari �.
Contoh 2.9
Misalkan � =
− dan � =
dapat dilihat bahwa �� =
− =
= = �
dengan demikian � = adalah nilai eigen dari � dan � = ,
�
merupakan vektor eigen dari
�. Sebarang kelipatan taknol dari � akan menjadi vektor eigen, karena
� �� = ��� = ��� = � �� . Jadi,
,
�
juga vektor eigen milik � = .
− =
= .
Misalkan � adalah matriks × dan � adalah suatu skalar, persamaan
�� = �� dapat ditulis dalam bentuk � − � � = .
2.9 Dengan menghitung determinan dari 2.23, yaitu
det � − � =
dapat ditentukan sebuah nilai eigen dan vektor eigen dari matriks �.
Contoh 2.10
Carilah nilai-nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian dari matriks � =
− . Penyelesaian: Persamaan karakteristiknya adalah
| − � − − �| = atau λ − � − = . Jadi, nilai-nilai eigen dari
� adalah � = dan � = − . Untuk mencari vektor eigen yang dimiliki oleh
� = , harus ditentukan ruang nol dari � − .
� − = −
− . Dengan menyelesaikan
� − � = , dengan � = x , x
�
, akan didapatkan � = x , x
�
. Jadi semua kelipatan taknol dari
,
�
adalah vektor eigen milik � dan { ,
�
} adalah suatu basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan
� . Dengan cara yang sama, untuk mendapatkan vektor eigen bagi
� , harus diselesaikan � +
� = .
Pada kasus ini { − ,
�
} adalah basis untuk � + dan sembarang kelipatan
taknol dari − ,
�
adalah vektor eigen yang bersesuaian � .
F. Persamaan Diferensial Hiperbolik
Sistem hiperbolik pada persamaan diferensial parsial dapat digunakan untuk memodelkan berbagai macam fenomena yang melibatkan gerakan
gelombang. Masalah yang diangkat umumnya tergantung pada waktu, sehingga solusinya tergantung pada waktu serta satu atau lebih variabel spasial. Dalam
ruang dimensi satu, sistem orde pertama persamaan diferensial parsial homogen di dan memiliki bentuk
, + � , = ,
2.10 disini
: ℝ × ℝ ℝ adalah vektor dengan komponen yang mewakili fungsi
yang tidak diketahui tekanan, kecepatan, dan lainnya yang akan ditentukan, dan � adalah sebuah matriks konstan yang berukuran × .
G. Karakteristik Persamaan Akustik
