Bentuk diferensial hukum kekekalan diasumsikan halus, dari bentuk fundamental integral. Perhatikan bahwa ketika halus, persamaan 3.29 dapat
ditulis sebagai +
′
= , 3.31
dengan ′
adalah matriks Jacobian dengan entry , diberikan oleh ⁄
. Bentuk 3.31 disebut bentuk quasilinear dari persamaan, karena menyerupai
sistem linear. + � = ,
3.32 dengan
� adalah sebuah matriks × . Ada hubungan erat antara teori-teori ini, dan matriks Jacobian
′ berperan penting dalam teori nonlinear.
E. Akustik Linear
Pada umumnya selalu diperoleh sistem linear dari masalah nonlinear dengan linearisasi. Ini sama saja dengan mendefinisikan
� = ′ untuk
beberapa fixed state dalam sistem linear 3.32, dan memberikan masalah
matematika sederhana yang berguna dalam beberapa situasi, terutama ketika mempelajari gangguan kecil dalam beberapa keadaan konstan.
Untuk melihat bagaimana hal ini terjadi, misalkan akan dimodelkan perambatan gelombang suara dalam tabung gas satu dimensi. Gelombang akustik
adalah gangguan tekanan yang sangat kecil yang merambat melalui gas kompresibel, menyebabkan perubahan kecil dalam massa jenis dan tekanan gas
melalui gerakan kecil dari gas dengan nilai yang sangat kecil dari kecepatan . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gendang telinga kita sangat sensitif terhadap perubahan kecil dalam tekanan dan mengakibatkan osilasi kecil pada tekanan dan menjadi impuls saraf
yang diartikan sebagai suara. Akibatnya, sebagian besar dasar fenoma gelombang suara merupakan linear. Sebagai fenomena linear, tidak melibatkan gelombang
kejut, sehingga linearisasi dari persamaan isentropik yang ditulis di atas cocok. Akan dilakukan linearisasi dari 3.30, misalkan
, = + ̃ , ,
3.33 dengan
= � , � adalah background state yang di linearisasi dan
̃ adalah sebuah gangguan yang diharapkan dapat dihitung. Biasanya
= , tapi itu bisa saja tidak sama dengan nol jika ingin dipelajari propagasi suara pada kekuatan
konstan angin, misalnya. Menggunakan 3.33 di 3.17 dan membuang setiap formula yang melibatkan produk dari variabel
̃, akan didapatkan persamaan linear
̃ +
′
̃ = . 3.34
Ini adalah sistem linear konstan koefisien model evolusi gangguan kecil. Untuk mendapatkan persamaan akustik, dihitung matriks Jacobian untuk
sistem dinamika gas 3.28 yang disederhanakan. Dengan mendiferensiasi fungsi fluks 3.30 memberikan
′
= [ ⁄
⁄ ⁄
⁄ ]
= [− + ′
⁄ ⁄ ]
= [− + ′ � ].
3.35 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Persamaan akustik linear sehingga diambil bentuk sistem konstan koefisien linear 3.34, yaitu
� =
′
= [− + ′ � ].
3.36 Perhatikan bahwa vektor
̃ dalam sistem 3.34 memiliki komponen �̃ dan �̃ merupakan gangguan massa jenis dan momentum. Komponen dalam sistem ini
ditulis dalam bentuk �̃ + �̃ =
3.37 �̃ + − +
′
� �̃ +
�̃ = . Secara fisik seringkali lebih alami untuk model gangguan
̃ dan ̃ dalam kecepatan dan tekanan, karena ini sering dapat diukur secara langsung. Untuk
mendapatkan persamaan tersebut, catatan pertama gangguan tekanan dapat berhubungan dengan gangguan massa jenis melalui persamaan state
+ ̃ = � + �̃ = � +
′
� �̃ + , dan karena
= � , diperoleh ̃ ≈
′
� �̃. Juga didapatkan
� = � + �̃ + ̃ = �
+ �̃ + � ̃ + �̃̃, dan juga
�̃ ≈ �̃ + � ̃. Menggunakan sifat ini dalam persamaan 3.37 dan dilakukan beberapa operasi
mengarah ke bentuk alternatif persamaan akustik linear PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
̃ + ̃ +
̃ = , 3.38
� ̃ + ̃ + � ̃ = ,
dengan = �
′
� . 3.39
Persamaan 3.38 dapat ditulis sebagai sistem linear
[ ] + [ � ⁄
] [ ] = . 3.40
Disini telah dihilangkan penulisan tilde pada dan dan menggunakan
, = [ ,
, ] untuk menotasikan gangguan tekanan dan kecepatan pada akustik.
Sistem 3.40 juga dapat diturunkan oleh penulisan pertama hukum kekekalan 3.28 sebagai sebuah himpunan non konservatif dari persamaan untuk
dan , yang hanya berlaku untuk solusi halus. Sebuah kasus khusus dalam persamaan ini diperoleh dengan menetapkan
= . Pada kasus ini koefisien matriks � muncul pada sistem 3.40
� = [ � ⁄
] 3.41
dan persamaan diturunkan menjadi +
= , 3.42
� +
= . Parameter
disebut modulus bulk kompresibilitas material. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
F. Gelombang Suara
