8
BAB II TEORI PERSAMAAN DIFERENSIAL
Pada bab ini akan dibahas klasifikasi persamaan diferensial, aturan rantai, integral, penurunan numeris, nilai dan vektor eigen, persamaan diferensial
hiperbolik, karakteristik persamaan akustik, bentuk umum hukum kekekalan, domain dependen dan range influence untuk persamaan hiperbolik, kondisi CFL,
serta matriks Jacobian. Penjabaran dalan bab ini akan menjadi landasan teori bagi Bab III dan Bab IV.
A. Klasifikasi Persamaan Diferensial
Suatu persamaan menyatakan relasi kesetimbangan antara dua hal. Persamaan diferensial adalah suatu persamaan menyatakan hubungan suatu fungsi
terhadap turunan-turunannya. Klasifikasi persamaan diferensial bisa didasarkan pada banyaknya variabel bebas yang terlibat, orde persamaan diferensial, dan
berdasarkan sifat linearnonlinear.
1. Klasifikasi berdasarkan variabel bebas yang terlibat
Fungsi bisa mempunyai satu variabel bebas atau lebih. Jika fungsi hanya mempunyai satu variabel bebas, maka persamaan diferensial tersebut disebut
persamaan diferensial biasa. Jika fungsi mempunyai lebih dari satu variabel bebas, maka persamaan diferensial tersebut disebut persamaan diferensial parsial.
Contoh 2.1
Contoh persamaan diferensial biasa Ross, 1989
+ = .
Persamaan di atas merupakan contoh persamaan diferensial biasa. Terlihat bahwa variabel adalah variabel bebas tunggal dan adalah variabel tidak bebas.
Contoh 2.2
Contoh persamaan diferensial parsial
+ = .
Persamaan di atas merupakan contoh dari persamaan diferensial parsial. Terlihat bahwa variabel dan adalah variabel bebas dan adalah variabel tidak bebas.
2. Klasifikasi berdasarkan orde persamaan diferensial
Orde persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari turunan fungsi yang terlibat dalam persamaan diferensial. Persamaan diferensial biasa contoh 2.1
mempunyai orde dua, sebab turunan tertinggi dari fungsi yang terlibat adalah turunan kedua. Persamaan diferensial parsial contoh 2.2 mempunyai orde satu.
3. Klasifikasi berdasarkan sifat linearnonlinear
Persamaan diferensial dapat terbagi menjadi dua, yaitu linear dan nonlinear. Persamaan diferensial biasa linear orde dengan variabel tak bebas
dan variabel bebas adalah persamaan diferensial yang dapat dinyatakan dalam
bentuk:
+
− −
+ +
−
+ =
,
dimana tidak sama dengan nol. Jadi, linear disini adalah linear terhadap
variable tak bebas dan turunan-turunannya. Persamaan diferensial di atas linear, sebab tidak ada perkalian antara fungsi dan atau dengan turunannya, dan
tidak ada fungsi transendental dari atau turunannya.
Contoh 2.3
Persamaan diferensial biasa berikut keduanya linear
+ +
= ,
+ +
= .
Persamaan diferensial biasa nonlinear adalah persamaan diferensial biasa yang tak linear.
Contoh 2.4
Persamaan diferensial biasa berikut ketiganya nonlinear PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
+ +
= ,
+ + = ,
+ +
= .
B. Aturan Rantai
Kategori