F. Persamaan Diferensial Hiperbolik
Sistem hiperbolik pada persamaan diferensial parsial dapat digunakan untuk memodelkan berbagai macam fenomena yang melibatkan gerakan
gelombang. Masalah yang diangkat umumnya tergantung pada waktu, sehingga solusinya tergantung pada waktu serta satu atau lebih variabel spasial. Dalam
ruang dimensi satu, sistem orde pertama persamaan diferensial parsial homogen di dan memiliki bentuk
, + � , = ,
2.10 disini
: ℝ × ℝ ℝ adalah vektor dengan komponen yang mewakili fungsi
yang tidak diketahui tekanan, kecepatan, dan lainnya yang akan ditentukan, dan � adalah sebuah matriks konstan yang berukuran × .
G. Karakteristik Persamaan Akustik
Dipandang persamaan akustik + �
= , 2.11
+ � = . 2.12
Persamaan di atas dapat ditulis ulang dengan memperkenalkan vektor seperti yang terlihat pada persamaan 2.13
+ � = , 2.13
dengan =
, � = �
� ⁄
, serta � dan adalah konstan. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Nilai eigen dan vektor eigen berkorespondensi dengan matriks �
dilambangkan , dan ̅ , ̅ masing-masing. Matriks dan adalah matriks
eigen didefinisikan pada persamaan 2.14
= ̅ ̅ , =
. 2.14
Asumsikan matriks � mempunyai dua nilai eigen real berbeda dengan persamaan
diagonalisasi dari matriks � dapat dilihat pada persamaan 2.15
−
� = . 2.15
Menggunakan sifat diagonalisasi, maka persamaan 2.15 dapat ditulis ulang menjadi:
−
+
−
�
−
= atau
−
+
−
= . Substitusi variabel
−
= = hasil pada persamaan akhir dipisahkan
2.16 +
= 2.16
+ = .
Persamaan 2.11 dan 2.12 dalam bentuk 2.12 dengan =
,
� = �
� ⁄
. Nilai eigen , dan berkorespondensi vektor eigen ̅ , ̅ untuk matriks
� dapat dilihat pada persamaan 2.17 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
= ̅ = �
2.17 = −
̅ = −� Solusi persamaan adveksi 2.13, ditulis dalam variabel baru berjalan dengan
kecepatan dan − . Solusi variabel baru =
terdiri dari dua gelombang yang sesuai dengan masing-masing komponen
, yaitu berjalan dengan
kecepatan dan berjalan dengan kecepatan
− .
H. Bentuk Umum Hukum Kekekalan
Dalam ruang dimensi satu, metode volume hingga didasarkan pada membagi domain spasial ke dalam interval grid sel dan mengaproksimasi
integral untuk masing-masing volume grid sel tersebut. Dalam setiap langkah waktu, nilai-nilai integral tersebut diperbaharui dengan melakukan pendekatan
terhadap fluks di titik akhir interval. Misal sel ke- dinotasikan dengan
=
− ⁄
,
+ ⁄
, yang ditunjukkan pada Gambar 2.3. Nilai
akan mengaproksimasi dengan nilai rata- rata sepanjang interval ke- pada waktu
: ≈ ∆ ∫
,
�+ ⁄ �− ⁄
≡ ∆ ∫ ,
,
�
�
2.18 dengan
∆ =
+ ⁄
−
− ⁄
adalah panjang sel. Jika
, adalah sebuah fungsi halus, maka integral 2.18 sesuai dengan nilai dari pada titik tengah dari interval ke
∆ .
Dipandang hukum kekekalan
∫ ,
= −
.
Bentuk integral dari hukum kekekalan di atas memberikan ∫
,
�
�
=
− ⁄
, −
+ ⁄
, . 2.19
Dapat digunakan bentuk ini untuk membangun suatu algoritma. Diberikan ,
rata-rata sel pada waktu , akan mengaproksimasi
+
, rata-rata sel pada waktu selanjutnya
+
dengan panjang langkah waktu ∆ =
+
− . Integralkan 2.19 pada waktu
sampai
+
diperoleh ∫
,
+
− ∫ ,
= ∫
�+ �
�
�
�
�
− ⁄ ,
− ∫
+ ⁄ ,
�+ �
.
Persamaan di atas dibagi dengan ∆ , maka diperoleh
+ +
− ⁄
− +
+ ⁄
Gambar 2.3. Ilustrasi metode volume hingga untuk memperbaharui rata-
rata sel oleh fluks pada tepi sel, pada ruang
− . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
∆ ∫ ,
+
= ∆ ∫ ,
�
�
�
�
− ∆ [∫
+ ⁄ ,
�+ �
− ∫
− ⁄ ,
�+ �
]. 2.20
Hal ini memberitahu bahwa rata-rata dari 2.18 harus diperbaharui dalam satu langkah waktu. Secara umum, tidak bisa ditentukan secara langsung integral
waktu pada sisi kanan 2.20, karena
± ⁄
, bervariasi terhadap waktu sepanjang setiap tepi sel dan tidak ada solusi eksaknya, tetapi ini menunjukkan
bahwa harus dipelajari metode numerik dalam bentuk
+
= −
Δ Δ
+ ⁄
−
− ⁄
, 2.21
dengan
− ⁄
adalah aproksimasi rata-rata fluks sepanjang =
− ⁄
:
− ⁄
≈ ∆ ∫
− ⁄
, .
�+ �
Jika mengaproksimasi rata-rata fluks berdasarkan pada nilai , maka diperoleh
metode yang sepenuhnya diskret. Misalkan
− ⁄
dapat dihasilkan dengan hanya bergantung pada nilai
−
dan , rata-rata sel pada kedua sisi dari interface ini. Maka
− ⁄
= Ӻ
−
, ,
dengan Ӻ adalah suatu fungsi fluks. Metode 2.21 menjadi
+
= −
∆ ∆
[Ӻ ,
+
− Ӻ
−
, ].
2.22 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Metode tertentu yang diperoleh tergantung pada pemilihan rumus Ӻ, tetapi secara
umum metode ini merupakan metode eksplisit stensil tiga titik, yang berarti bahwa nilai
+
akan bergantung pada tiga nilai
−
, , dan
+
pada level waktu sebelumnya. Metode 2.22 dapat dilihat sebagai aproksimasi beda hingga
untuk hukum kekekalan +
= , yang memberikan
+
− ∆
+
+ ⁄
−
− ⁄
∆ = .
2.23
I. Domain Dependen dan Range Influence untuk Persamaan Hiperbolik
Domain dependen pada titik �, didefinisikan sebagai berikut:
� �, = {� − �
�
: = , , … , }, dengan
�, adalah titik yang ditetapkan pada ruang-waktu dan �
�
adalah kecepatan gelombang, ilustrasi domain dependen dapat dilihat pada Gambar 2.4.
Sekarang fokus pada titik tunggal pada waktu
= . Pilihan data pada saat ini hanya akan mempengaruhi sinar karakteristik
+ �
�
untuk = , , … , .
�,
a � − �
� − � � − �
+ � + �
+ �
b
Gambar 2.4. Sistem hiperbolik khusus tiga persamaan dengan
� � � , a menunjukkan domain dependen dari titik �, , dan b menunjukkan
range influence titik .
Himpunan titik-titik ini disebut range influence titik , yang diilustrasikan pada
Gambar 2.4 b.
J. Kondisi CFL