= +
= +
=
C. Integral
Ada dua macam integral, yaitu integral tak tentu dan integral tentu.
1. Integral Tentu
Definisi 2.1
Sebuah fungsi disebut antiturunan pada interval jika =
pada , yakni jika
′
= untuk dalam .
Teorema Varberg Purcell Rigdon, 2007
Jika adalah sebarang bilangan rasional kecuali − , maka
∫ =
+
+ + . Bukti:
Untuk membuktikan
′
= , maka akan dicari turunan untuk ruas kanan
[
+
+ + ] = + +
= . Teorema terbukti.
Contoh 2.7 Anton, 2012
Fungsi =
adalah antiturunan dari = pada interval −∞, +∞
karena untuk semua di interval
′
= [
] = =
. Namun,
= bukan satu-satunya antiturunan dari pada interval. Jika
ditambahkan sebarang konstan ke
, maka fungsi =
+ juga antiturunan dari pada interval
−∞, +∞ , sebab
′
= [
+ ] = + =
. Pada umumnya setiap antiturunan merupakan suatu yang tunggal,
antiturunan lainnya dapat diperoleh dengan menambahkan suatu konstanta untuk antiturunan yang diketahui. Dengan demikian,
, + ,
− , + √
merupakan antiturunan dari = .
2. Integral Tentu
Luas Daerah Martono, 1999
Pada Gambar 2.1 a daerah di bidang yang dibatasi grafik fungsi kontinu , garis
= , garis = , dan sumbu , dengan pada
[ , ], ditulis = { , :
, }.
Dengan menggunakan limit, luas daerah dihitung dengan langkah konstruksi sebagai berikut:
1. Selang tertutup
[ , ] dibagi menjadi bagian yang sama panjang, sehingga diperoleh titik pembagian
=
−
= . Himpunan titik-titik pembagian
= { , , , … , } dinamakan partisi untuk [ , ]. Selang bagian ke- dari partisi adalah [
−
, ], = , , … , , dan panjang selangnya adalah
∆ = −
−
. Panjang partisi didefinisikan
sebagai || || = max
≤ ≤
∆ .
2. Pilih
[
−
, ], = , , … , kemudian dibuat persegi panjang dengan ukuran
alas = ∆ = −
−
, = , , … , , dan
Gambar 2.1 a Ilustrasi kurva fungsi Gambar 2.1 b Ilustrasi partisi
kurva fungsi PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
tinggi = ,
[
−
, ], = , , … , . Luas persegi panjang ke- pada Gambar. 2.1 b adalah
∆ = ∆ , sehingga
luas daerah yang dihampiri oleh buah persegi panjang adalah
Luas ≈ ∑ ∆
=
.
3. Nilai eksak luas daerah dicapai bila
∞. Untuk partisi yang setiap selang bagiannya sama panjang,
∞ sama artinya dengan || || , sehingga
Luas = lim
∞
∑ ∆ = lim
||�||
∑ ∆
= =
.
Definisi 2.2
Integral tentu dari fungsi pada selang tertutup [ , ], ditulis dengan
lambang ∫
, didefinisikan sebagai ∫
= lim
||�||
∑ ∆
=
.
D. Penurunan Numeris