Integral Tentu Integral Tentu

= + = + =

C. Integral

Ada dua macam integral, yaitu integral tak tentu dan integral tentu.

1. Integral Tentu

Definisi 2.1 Sebuah fungsi disebut antiturunan pada interval jika = pada , yakni jika ′ = untuk dalam . Teorema Varberg Purcell Rigdon, 2007 Jika adalah sebarang bilangan rasional kecuali − , maka ∫ = + + + . Bukti: Untuk membuktikan ′ = , maka akan dicari turunan untuk ruas kanan [ + + + ] = + + = . Teorema terbukti. Contoh 2.7 Anton, 2012 Fungsi = adalah antiturunan dari = pada interval −∞, +∞ karena untuk semua di interval ′ = [ ] = = . Namun, = bukan satu-satunya antiturunan dari pada interval. Jika ditambahkan sebarang konstan ke , maka fungsi = + juga antiturunan dari pada interval −∞, +∞ , sebab ′ = [ + ] = + = . Pada umumnya setiap antiturunan merupakan suatu yang tunggal, antiturunan lainnya dapat diperoleh dengan menambahkan suatu konstanta untuk antiturunan yang diketahui. Dengan demikian, , + , − , + √ merupakan antiturunan dari = .

2. Integral Tentu

Luas Daerah Martono, 1999 Pada Gambar 2.1 a daerah di bidang yang dibatasi grafik fungsi kontinu , garis = , garis = , dan sumbu , dengan pada [ , ], ditulis = { , : , }. Dengan menggunakan limit, luas daerah dihitung dengan langkah konstruksi sebagai berikut: 1. Selang tertutup [ , ] dibagi menjadi bagian yang sama panjang, sehingga diperoleh titik pembagian = − = . Himpunan titik-titik pembagian = { , , , … , } dinamakan partisi untuk [ , ]. Selang bagian ke- dari partisi adalah [ − , ], = , , … , , dan panjang selangnya adalah ∆ = − − . Panjang partisi didefinisikan sebagai || || = max ≤ ≤ ∆ . 2. Pilih [ − , ], = , , … , kemudian dibuat persegi panjang dengan ukuran alas = ∆ = − − , = , , … , , dan Gambar 2.1 a Ilustrasi kurva fungsi Gambar 2.1 b Ilustrasi partisi kurva fungsi PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI tinggi = , [ − , ], = , , … , . Luas persegi panjang ke- pada Gambar. 2.1 b adalah ∆ = ∆ , sehingga luas daerah yang dihampiri oleh buah persegi panjang adalah Luas ≈ ∑ ∆ = . 3. Nilai eksak luas daerah dicapai bila ∞. Untuk partisi yang setiap selang bagiannya sama panjang, ∞ sama artinya dengan || || , sehingga Luas = lim ∞ ∑ ∆ = lim ||�|| ∑ ∆ = = . Definisi 2.2 Integral tentu dari fungsi pada selang tertutup [ , ], ditulis dengan lambang ∫ , didefinisikan sebagai ∫ = lim ||�|| ∑ ∆ = .

D. Penurunan Numeris