27
Gambar 4.1 Hasil eksekusi program ”Animasi Visualisasi Gerak Triple Pendulum Nonlinier” pada lampiran
4.1 Keadaan Periodik
Keadaan Periodik dari triple pendulum nonlinier dengan m
1
= m
2
= m
3
=1, l
1
= l
2
= l
3
= 1, g = 1, ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0 , θ
1
= Pi2, tercapai pada nilai θ
2
= 5Pi12 dan nilai θ
3
= 3Pi8. Hal ini dianalisis dari grafik-grafik keluaran yang ditunjukkan pada gambar 4.2 hingga gambar 4.17.
Gambar 4.2 Ruang fasa pada m
1
dengan m
1
= m
2
= m
3
= 1, l
1
= l
2
= l
3
=1, g = 1,
ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0 , θ
1
= Pi2, θ
2
= 5Pi12, dan θ
3
= 3Pi8.
1
vs.
1
Universitas Sumatera Utara
28
Gambar 4.3 Ruang fasa pada m
2
dengan m
1
= m
2
= m
3
= 1, l
1
= l
2
= l
3
=1, g = 1,
ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0 , θ
1
= Pi2, θ
2
= 5Pi12, dan θ
3
= 3Pi8.
Gambar 4.4 Ruang fasa pada m
3
dengan m
1
= m
2
= m
3
=1, l
1
= l
2
= l
3
=1, g = 1,
ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0 , θ
1
= Pi2, θ
2
= 5Pi12, dan θ
3
= 3Pi8.
Pada gambar 4.2, 4.3 dan 4.4 menunjukkan keadaan triple pendulum ditentukan oleh koordinat posisi
–kecepatan sudut yang bergerak sepanjang suatu lintasan pada bidang fasa sementara pendulum berayun. Karena adanya penurunan
energi akibat pengaruh redaman dari masing-masing pendulum yang saling mempengaruhi sehingga lintasan pada keadaan transien terpilin ke pusat bidang.
Selanjutnya efek redaman diantisipasi oleh energi yang diserap oleh pengaruh redaman sehingga keadaan menjadi tunak dengan bentuk lintasan tertutup.
Lintasan tertutup ini menandakan bahwa pendulum bersifat periodik, dengan keadaan akhirnya datang dengan keadaan awalnya.
Gambar 4.5 Grafik Sensitivitas kondisi awal θt vs t dengan m
1
= m
2
= m
3
=1, l
1
= l
2
= l
3
= 1, g = 1, ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0 , θ
1
= Pi2, θ
2
= 5Pi12, dan θ
3
= 3Pi8.
2
vs.
2
3
vs.
3
t vs t
Universitas Sumatera Utara
29
Gambar 4.6 Grafik Sensitivitas kondisi awal θ
1
t vs t dengan m
1
= m
2
= m
3
=1, l
1
= l
2
= l
3
=1, g = 1, ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0 , θ
1
= 5Pi1 2, θ
2
= 5Pi12, dan θ
3
= 3Pi8.
Gambar 4.7 Grafik Sensitivitas kondisi awal θt vs t dengan m
1
= m
2
= m
3
=1, l
1
= l
2
= l
3
=1, g = 1, ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0 , θ
1
= Pi2, θ
2
= 5Pi12, dan θ
3
= 3Pi8.
Gambar 4.8 Grafik Sensitivitas kondisi awal θt vs t dengan m
1
= m
2
= m
3
=1, l
1
= l
2
= l
3
=1, g = 1, ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0 , θ
1
= 5 Pi2, θ
2
= 5Pi12, dan θ
3
= 3Pi8.
Pada gambar 4.5 dan 4.7 menunjukkan perilaku simpangan θ setiap saat t. Dalam keadaan ini terdapat dua daerah osilasi yakni osilasi yang terjadi pada
pendulum1 dan pendulum2 beserta pendulum2 dan pendulum3. Jika keadaan ini diubah sedikit yaitu θ
1
menjadi 5Pi12, maka perbandingan plot posisi sudut vs waktu yang ditunjukkan pada gambar 4.6 dan 4.8 menunjukkan grafik yang
t vs t
t vs t
t vs t
Universitas Sumatera Utara
30
tampak bahwa kedua posisi sudut berjalan selaras, berarti sistem ini tidak sensitif terhadap kondisi awal karena sifatnya yang periodik.
Berikut juga ditampilkan beberapa tampilan simpangan pada keadaan periodik ini, yang dapat dilihat pada gambar 4.9, 4.10, 4.11, 4.12, 4.13, 4.14, 4.15,
4.16, 4.17.
Gambar 4.9 Grafik xt vs t dengan m
1
= m
2
= m
3
=1, l
1
= l
2
= l
3
=1, g = 1, ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0 , θ
1
= Pi2, θ
2
= 5Pi12, dan θ
3
= 3Pi8 Pendulum1 dan pendulum2
Gambar 4.10 Grafik xt vs t dengan m
1
= m
2
= m
3
=1, l
1
= l
2
= l
3
=1, g = 1, ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0 , θ
1
= Pi2, θ
2
= 5Pi12, dan θ
3
= 3Pi8 Pendulum2 pendulum3
Gambar 4.11 Grafik yt vs t dengan m
1
= m
2
= m
3
=1, l
1
= l
2
= l
3
=1, g = 1, ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0 , θ
1
= Pi2, θ
2
= 5Pi12, dan θ
3
= 3Pi8 Pendulum1 pendulum2
x t vs t
x t vs t
y t vs t
Universitas Sumatera Utara
31
Gambar 4.12 Grafik yt vs t dengan m
1
= m
2
= m
3
=1, l
1
= l
2
= l
3
=1, g = 1, ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0 , θ
1
= Pi2, θ
2
= 5Pi12, dan θ
3
= 3Pi8 Pendulum2 pendulum3
Gambar 4.13 Grafik x
1
vs y
1
dengan m
1
= m
2
= m
3
=1, l
1
= l
2
= l
3
=1, g = 1, ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0 , θ
1
= Pi2, θ
2
= 5Pi12, dan θ
3
= 3Pi8
Gambar 4.14 Grafik x
2
vs y
2
dengan m
1
= m
2
= m
3
=1, l
1
= l
2
= l
3
=1, g = 1, ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0 , θ
1
= Pi2, θ
2
= 5Pi12, dan θ
3
= 3Pi8
Gambar 4.15 Grafik x
3
vs y
3
dengan m
1
= m
2
= m
3
=1, l
1
= l
2
= l
3
=1, g = 1, ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0 , θ
1
= Pi2, θ
2
= 5Pi12, dan θ
3
= 3Pi8
y t vs t
x
1
vs. y
1
x
2
vs. y
2
x
3
vs. y
3
Universitas Sumatera Utara
32
Gambar 4.16 Grafik θ
1
vs θ
2
dengan m
1
= m
2
= m
3
=1, l
1
= l
2
= l
3
=1, g = 1, ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0 , θ
1
= Pi2, θ
2
= 5Pi12, dan θ
3
= 3Pi8
Gambar 4.17 Grafik θ
2
vs θ
3
dengan m
1
= m
2
= m
3
=1, l
1
= l
2
= l
3
=1, g = 1, ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0 , θ
1
= Pi2, θ
2
= 5Pi12, dan θ
3
= 3Pi8
4.2 Keadaan Kuasiperiodik
