13
Untuk sistem triple pendulum seperti terlihat pada gambar 2.3 jelas bahwa
menentukan posisi massa m
1
, m
2
dan m
3
pada berbagai waktu dibutuhkan tiga buah koordinat dan sistem adalah tiga derajat kebebasan. Dan
x
1
, x
2
, dan x
3
atau y
1
, y
2
, dan y
3
atau θ
1
, θ
2
, dan θ
3
, mungkin merupakan kelompok koordinat sistem ini.
x
1
= l
1
+ l
2
+ l
3
– l
1
cos θ
1
2.2 y
1
= l
1
sin θ
1
2.3 x
2
= l
1
+ l
2
+ l
3
– l
1
cos θ
1
– l
2
cos θ
2
2.4 y
2
= l
1
sin θ
1
+ l
2
sin θ
2
2.5 x
3
= l
1
cos θ
1
+ l
2
cos θ
2
+ l
3
cos θ
3
2.6 y
3
= l
1
+ l
2
+ l
3
– l
1
cos θ
1
– l
2
cos θ
2
− l
3
cos θ
3
2.7 dimana posisi koordinat x ditinjau dari panjang keseluruhan pendulum ke tiap
– tiap pendulum pada sumbu x dan posisi koordinat y ditinjau dari jarak pendulum
ke titik O pada sumbu y.
2.3 Fungsi Lagrangian
Untuk mencari persamaan gerak triple pendulum, koordinat-koordinat posisi
masing-masing pendulum akan dimasukkan ke Fungsi Lagrangian. Fungsi Lagrangian atau yang biasa disebut Lagrangian disimbolkan dengan L merupakan
gabungan dari persamaan energi kinetik T dan energi potensial V yang diberikan:
T = ∑
�
x
n
+ y
n �=
2.8 V =
∑ �
� � �=
2.9 dengan m
n
merupakan massa setiap pendulum, x
n
+ y
n
adalah kecepatan masing – masing pendulum dan x
n
adalah jarak titik dari panjang keseluruhan pendulum ke setiap pendulum. Dari energi kinetik dan energi potensial dapat digunakan
untuk menghitung Lagrangian, L = T
– V 2.10
Untuk kasus gerak sistem triple pendulum dengan subsitusi persamaan
2.2, 2.4, dan 2.6, ke persamaan 2.9, diperoleh energi potensialnya V =
m
1
gx
1
+ m
2
gx
2
+ m
3
gx
3
Universitas Sumatera Utara
14
= m
1
g l
1
+ l
2
+ l
3
– l
1
cos θ
1
+ m
2
g l
1
+ l
2
+ l
3
– l
1
cos θ
1
– l
2
cos θ
2
+ m
3
g l
1
+ l
2
+ l
3
– l
1
cos θ
1
– l
2
cos θ
2
− l
3
cos θ
3
2.11 dan untuk energi kinetiknya diperoleh persamaan:
T = x + y +
x + y + x + y
2.12 Dari persamaan:
�
=
�
�
��
2.13
�
=
�
�
��
2.14 sehingga diperoleh
�
+
�
=
�
�
��
+
�
�
��
2.15 dengan menggunakan persamaan 2.15 kedalam persamaan 2.12 diperoleh
T = � +
[� + �
+ � � cos � − � ] + [�
+ � + �
+ � � cos � − � + � � cos � − � + � � cos � − � ]
2.16 Dengan menggabungkan persamaan 2.11 dan 2.16 ke dalam persamaan 2.10
diperoleh L = T
– V =
� + [�
+ � + � � cos � − � ] +
[� +
� + �
+ � � cos � − � + � � cos � − � + � � cos � − � ] −
� cos � − � cos � + cos � −
� cos � + cos � + cos � 2.17
Persamaan 2.17 merupakan Lagrangian gerak triple pendulum, dimana persamaan
tersebut akan diselesaikan dengan persamaan Lagrange agar diperoleh posisi masing-masing pendulum.
2.4 Persamaan Lagrange
Jika sistem adalah konservatif, persamaan Lagrange dirumuskan sebagai berikut
� ��
�� ��
�
−
�� ��
�
= , � ∈ { , , } 2.18
Universitas Sumatera Utara
15
Karena kasus yang dibahas merupakan sistem triple pendulum yang memiliki tiga
pendulum maka ditinjau masing-masing posisi Spiegel,1967. Persaman gerak untuk
θ
1
adalah +
+ � +
+ � � � − � � +
� � � − � � +
+ � �� � − � +
� �� � − � + +
+ � �� � =
2.19 Sedangkan untuk
� : +
� � � − � � + +
� + � � � − � � −
+ � �� � − � +
� �� � − � + +
� �� � = 2.20
Lalu yang terakhir untuk � :
� � � − � � + � � � − � � + � −
� �� � − � −
� �� � − � + � �� � =
2.21 Persamaan 2.19, 2.20, dan 2.21 merupakan persamaan gerak sistem
triple pendulum nonlinier. Dimana
m
1
, m
2
, dan m
3
merupakan massa masing-masing pendulum1, pendulum2 dan pendulum3, dan
l
1
,l
2
dan l
3
merupakan panjang tali dari masing-masing pendulum, dan
�
1
, �
2
, dan �
3
adalah sudut yang dibentuk pendulum dengan garis vertikal serta
g merupakan konstanta gravitasi bumi. Sistem seperti ini banyak digunakan untuk mengetahui kejadian akan datang,
misalnya perkiraan cuaca, perkiraan gempa dan lain sebagainya.
2.5 Pemrograman dengan Mathematica 9
