19
Pada ruang fasa yang telah dijelaskan di atas, koordinat ωt, dan θt
ditentukan pada t = 1, 2, 3 dan seterusnya, hingga t
max
yakni t = 100. Hal ini agar
dapat memperlihatkan karakteristik sistem dinamis dengan baik, maka jejak lintasan yang muncul harus ditampilkan dengan jelas. Jika lintasan pada ruang
fasa ini berulang, maka dapat dikatakan bahwa sistem tersebut periodik, sedangkan jika lintasannya tidak tepat berulang maka sistem tersebut dapat
dikatakan tidak periodik.
3.2 Perancangan Program
Simulasi gerak triple pendulum nonlinier ini dirancang dengan menggunakan
seperangkat laptop yang menggunakan prosesor AMD E-300 APU with
Radeontm HD Graphics 1.30 Ghz dengan menggunakan software Wolfram
Mathematica versi 9.
Adapun proses perancangan program penelitian ini dirancang melalui tahapan-tahapan sebagai berikut:
a. Perancangan diagram alir
flowchart dan algoritma simulasi penyelesaian persamaan gerak
triple pendulum nonlinier dengan metode Euler- Lagrange
b. Pembuatan program lengkap berdasarkan rancangan diagram alir dan
algoritma dengan menggunakan bahasa pemrograman Mathematica versi
9.
3.2.1 Perancangan Diagram Alir Flowchart
Dalam merancang suatu program yang terstruktur dan terkendali dengan baik, terlebih dahulu perlu dilakukan perancangan diagram alir
flowchart serta algoritma program sehingga memperjelas langkah-langkah dalam membuat
program secara utuh. Rancangan diagram alir program bantu dapat dilihat pada gambar berikut :
Universitas Sumatera Utara
20
Mulai Input nilai
m
1
,m
2
, m
3
, l
1
, l
2
, l
3
, θ
1
, θ
2
, θ
3
, ω
1
, ω
2
, ω
3
, t, g Selesaikan
persamaan gerak triple pendulum
nonlinier Tentukan
komponen tangensial dan
radial masing- masing pendulum
dari hasil penyelesaian
Visualisasi Triple
Pendulum nonlinier
Hasil animasi
Baca Pemilihan Tampilan
Tampilan = Grafik Simpangan x pada m
1
dan m
2
Tampilan = Grafik Simpangan x pada m
2
dan m
3
? Tampilan = Grafik
Simpangan y pada m
1
dan m
2
? Tampilan = Grafik
Simpangan y pada m
2
dan m
3
?
Tampilan = Sensitivitas kondisi
awal
?
Grafik posisi xt
vs t Grafik
posisi xt vs t
Grafik posisi yt
vs t Grafik
posisi yt vs t
Grafik posisi
θ
1
vs t dan
θ
2
vs t
Tombol Pause Ditekan
Selesai ya
Tidak Animasikan
pendulum ya
Tidak
Pemilihan Tampilan
a
b
c
d
e
f
A
B
Universitas Sumatera Utara
21
Tampilan = Sensitivitas kondisi
awal? Tampilan = Grafik
x
1
vs y
1
? Tampilan = Grafik
x
2
vs y
2
? Tampilan = Grafik
x
3
vs y
3
? Tampilan =Grafik
θ1 dan
θ2?
Grafik posisi
θ
2
vs t dan
θ
3
vs t
Grafik x
1
vs y
1
Grafik x
2
vs y
2
Grafik x
3
vs y
3
Grafik posisi
θ
1
vs θ
2
A
B C
D
Tampilan =Grafik θ
2
dan θ
3
? Tampilan =
Ruang Fasa m
1
? Tampilan =
Ruang Fasa m
2
? Tampilan =
Ruang Fasa m
3
?
Grafik posisi
θ
2
vs t dan
θ
3
vs t
Tentukan posisi sudut yang akan
ditampilkan Tentukan posisi
sudut yang akan ditampilkan
Tentukan posisi sudut yang akan
ditampilkan Plot
ω
1
t vs θ
1
t pada posisi sudut
yang telah ditentukan Plot
ω
2
t vs θ
2
t pada posisi sudut
yang telah ditentukan Plot
ω
3
t vs θ
3
t pada posisi sudut
yang telah ditentukan
Ruang Fasa m
1
Ruang Fasa m
3
Ruang Fasa m
2
C
D
Gambar 3.1 Diagram alir simulasi dan animasi persamaan gerak triple pendulum nonlinier dengan metode Euler-Lagrange
Keterangan Gambar: a.
Input Data. Simulasi dimulai dengan memberikan data-data input terlebih dahulu. Data
input pada simulasi ini yaitu, percepatan gravitasi, g, massa masing-masing
pendulum, m
1
, m
2
, dan m
3
, panjang tali masing-masing pendulum l
1
, l
2
, dan l
3
,
Universitas Sumatera Utara
22
rentang waktu, t, dan syarat awal persamaan gerak pendulum,
θ θ
1
, θ
2
dan θ
3
dan ω ω
1
, ω
2
, dan ω
3
. Dalam program ini, rentang nilai massa, panjang, dan kecepatan sudut
masing-masing pendulum dibatasi dari 0 sampai 5. Untuk gravitasi, rentang nilai yang dibatasi antara 1 sampai 9,8, sedangkan untuk rentang sudut
masing-masing pendulum dibatasi dari 0 sampai π2.
b. Menyelesaikan Persamaan Gerak
Triple Pendulum Persamaan gerak triple pendulum diselesaikan dengan menggunakan operasi
numerik dengan fungsi NDSolve yang terdapat pada pemrograman pada
Mathematica.
c. Penentuan Komponen Tangensial dan Radial Pendulum
Komponen tangensial dari pendulum yaitu, sin θ dan komponen radial
pendulum, yaitu cos θ berdasarkan hasil penyelesaian persamaan gerak
pendulum.
d. Menampilkan Hasil Visualisasi dari
Triple Pendulum Hasil visualisasi diperoleh dari fungsi
Graphics yang terdapat pada bahasa pemrograman
Mathematica versi 9 berdasarkan komponen tangensial dan radial pada point c. Untuk pendulum1 warna pendulum adalah hijau, untuk
pendulum2 warna pendulum adalah biru, dan untuk pendulum3 warna pendulum adalah merah.
e. Membaca pemilihan tampilan
Program membaca pemilihan tampilan yang dipiliah oleh pengguna, jika tampilan yang diinginkan adal
ah ”Simpangan x m1 dan m2” atau ”Simpangan x m2 dan m3”, maka plot yang ditampilkan adalah xt vs t. Jika
tampilan yang diinginkan ad alah ”Simpangan y m1 dan m2” atau
”Simpangan y m2 dan m3” maka plot yang ditampilkan adalah plot yt vs t. Jika tampilan yang diinginkan ”Sensitivitas kondisi awal θ
1
dan θ
2
” atau ”Sensitivitas kondisi awal θ
2
dan θ
3
” maka plot yang ditampilkan adalah θt
Universitas Sumatera Utara
23
vs t.
Jika tampilan yang diinginkan adalah ”x
1
vs y
1
” maka plot yang ditampilkan adalah
x
1
vs y
1
. Jika tampilan yang diinginkan adalah ”x
2
vs y
2
” maka plot yang ditampilkan adalah
x
2
vs y
2
. Jika tampilan yang diinginkan adalah ”x
3
vs y
3
” maka plot yang ditampilkan adalah x
3
vs y
3
. Jika tampilan yang diinginkan adalah ”θ
1
vs θ
2
” maka plot yang ditampilkan adalah θ
1
vs θ
2
. Jika tampilan yang diingin kan adalah ”θ
2
vs θ
3
” maka plot yang ditampilkan adalah
θ
2
vs θ
3
. Jika tampilan yang diinginkan adalah ”ruang fasa
m
1
” maka plot yang dihasilkan adalah pada rentang-rentang –π sampai +π, dan memplot titik lintasan
ω
1
t, dan θ
1
t pada t = 0,1,2,3 dan seterusnya, hingga t
max
. Jika tampilan yang diinginkan adalah ”ruang fasa m
2
” maka plot yang dihasilkan adalah pada rentang-rentang
–π sampai +π, dan memplot titik lintasan
ω
2
t, dan θ
2
t pada t = 0,1,2,3 dan seterusnya, hingga t
max
. Dan jika tampil
an yang diinginkan adalah ”ruang fasa m
3
” maka plot yang dihasilkan adalah pada rentang-rentang
–π sampai +π, dan memplot titik lintasan ω
3
t, dan
θ
3
t pada t = 0,1,2,3 dan seterusnya, hingga t
max
.
f. Menganimasikan Visualisasi
Triple Pendulum Hasil visualisasi dianimasikan sesuai dengan penyelesaian persamaan gerak
triple pendulum nonlinier dengan menggunakan fungsi Trigger pada bahasa pemrograman
Mathematica 9. Jika terdapat perbedaan pada keadaan pendulum, maka pendulum hijau, pendulum biru, dan pendulum merah akan
memiliki gerak yang berbeda.
3.2.2 Algoritma Program Bantu
