7
2. Tidak dapat diprediksi dalam jangka panjang dan sensitif terhadap kondisi
awal 3.
Kompleks, tetapi nampaknya seperti beraturan dalam ruang fasa Batas antara perilaku yang teratur dan kacau sering ditandai dengan
penggandaan periode, keadaan inilah yang mengantarkan pada perilaku chaos.
Tamas, 2006
2.1.1 Studi Chaos Secara Numerik
Studi keberatan yang muncul ketika gejala chaos dipelajari secara numerik
dengan menggunakan computer digital yaitu mengenai penggunaan sekumpulan bilangan rasional berhingga dengan panjang kata berhingga
finite dan waktu perhitungan yang juga berhingga. Hal ini menyebabkan orbit periodik yang
panjang dengan orbit quasiperiodik atau orbit chaos sulit untuk dibedakan. Orbit
yang teramati secara numerik hanya menampilkan orbit fiktif, karena setiap langkah dimulai dengan bilangan yang dibulatkan berbeda dengan orbit yang
sebenarnya, meskipun perbedaan itu kecil. Namun, bilangan irasional dapat didekati dengan bilangan rasional, atau
sama dengan kata lain daerah chaos dikelilingi oleh daerah-daerah periodik.
Strategi yang benar dalam studi computer adalah dengan mengidentifikasikan orbit periodik dengan tepat dan mencirikan gerak tak periodik. Selain itu,
sistematika orbit periodik banyak sekali memberitahukan sifat gerak tak periodik yang berdekatan dalam ruang parameter. Dan telah dibuktikan bahwa setiap
periode orbit chaos fiktif dibayangi dengan orbit chaos yang sebenarnya.
Setiawan, 1991 Studi
chaos dapat juga dilakukan menggunakan kalkulator saku dengan menggunakan menggunakan hubungan matematis yang sederhana. Digunakan
persamaan logistic yang diberikan pada persamaan 2.1.
′
= −
2.1 dimana 0 ≤ x ≤ 1 dan w adalah parameter yang dapat diatur, sedangkan x
merupakan parameter simpangan. Untuk w = 2,9 dan x = 0,4, maka x’ = 0,696. Berikutnya x’ menjadi nilai awal sehingga diperoleh x’’ = 0,614, dan hal ini
dilakukan selanjutnya sehingga diperoleh nilai- nilai x’ yang tetap pada nilai yang
Universitas Sumatera Utara
8
mendekati 0,665. Hal ini dilakukan seterusnya untuk beberapa iterasi dan dikatakan sebagai keadaan periodik.
Selanjutnya jika nilai w dinaikkan menjadi 3,3, maka nilai x akan berganti- berganti antara nilai tinggi 0,824 dan nilai rendah 0,480, dan hal inilah yang
dikatakan sebagai penggandaan periode, dan dengan melanjutkan prosedur ini, maka akan diperoleh penggandaan periode lagi, begitu seterusnya sehingga
diperoleh kondisi chaos Walker, 1991.
2.1.1.1 Ruang Fasa
Ruang fasa phase space merupakan sarana yang bermanfaat untuk
mengambarkan tingkah laku sistem-sistem yang bersifat chaos dalam bentuk
geometri. Adapun yang dimaksud dengan ruang fasa dari suatu sistem adalah ruang yang secara matematika memiliki koordinat tegak lurus, dimana masing-
masing koordinat mewakili variable-variabel yang diperlukan untuk menentukan keadaan sistem pada ssat tersebut. Sebagai contoh saat sebuah partikel bergerak
dalam ruang tiga dimensi x, y, z dan memiliki momentum pada ketiga arah
tersebut Px, Py, Pz, keadaan partikel tersebut setiap saat secara lengkap
dispesifikasikan dengan enam koordinat yaitu x, y, z, px , py, pz. Ruang di mana
partikel dispesifikasikan dengan enam koordinat tersebut disebut sebagai ruang enam dim
ensi atau ruang Γ Baker et al, 1996.
Gambar 2.2 Bawah, skala dari energi potensial Vθ untuk sistem terkendali
pada pendulum, atas, menunjukkan lintasan ruang fasa pada tiga tingkatan energi
Robert Deserio,2002
Universitas Sumatera Utara
9
Sebagai contoh pada gambar diatas tepatnya pada bagian bawah tampak energi potensial
Vθ untuk d = 0. Pada bagian atas gambar menampilkan grafik dari
ω –vs– θ dan menunjukkan lintasan dari ruang fasa untuk gerak yang tidak terkendali, vibrasi teredam pada tiga nilai dari E. Pembentukan titik vibrasi dapat
diilustrasikan sedikit oleh garis vertikal dan energi mekanik oleh garis titik horizontal. Arah gerak disepanjang lintasan diindikasikan oleh arah panah.
2.1.1.2 Penggandaan Perioda
Perubahan kestabilan atau perubahan yang dramatis dalam suatu sistem akibat perubahan nilai parameter dinamakan bifurkasi. Dimana bifurkasi ini tidak selalu
berhubungan dengan kompleksitas, tetapi terdapat beberapa jenis bifurkasi yang senantiasa berhubungan dengan bertambahkan kerumitan suatu sistem yang pada
akhirnya mengakibatkan kondisi chaos.
Beberapa ahli dinamika nonlinier mengemukakan bahwa salah satu jenis bifurkasi yang terkenal adalah penggandaan periode
period doubling, yakni suatu gerakan periodik yang mengalami bifurkasi dan ‘melontarkan’ gerakan
periodik yang periodenya dua kali lebih besar dari periode semula. Kemudian masing-masing gerakan periodik itu mengalami bifurkasi lagi yang sama dan
begitu proses seterusnya. Masing-masing gerakan periodik yang terlontar biasanya tidak stabil, akibatnya pada suatu nilai parameter tertentu akan sangat banyak
gerakan periodik yang tidak stabil dalam suatu sistem. Ketika hal itu terjadi dinamika sistem sudah sangat kompleks dan kondisi
chaos terjadi lagi. Dengan menggunakan kalkulator tangan, dengan mudah dapat diperoleh
jendela periodik pertama untuk pemetaan logistik: p = 1
0 μ μ1 = 0,75 p = 2
μ1 μ μ2 = 1,25 p = 4 = 22
μ2 μ μ3 = 1,3680989 p = 8 = 23
μ3 μ μ4 = 1,3940461 Dari sudut pandang
chaos¸ kejadian yang lebih besar dari μ
∞
merupakan hal yang lebih menarik. Dalam rentang parameter μ
∞
, 2 terdapat jendela periodik dalam jumlah tak hingga infinite dengan latar belakang daerah yang tak
periodik. Jika distribusi titik-titik dalam daerah yang tak periodik disimak lebih
Universitas Sumatera Utara
10
teliti, akan terlihat iterasi yang melompat antara 2
n
subinterval dari interval I dengan n yang berkurang dari ∞ menjadi 0 bila μ bergerak dari μ
∞
menuju 2. Ini disebut sebagai deret percabangan ganda setengah periode atau deret percabangan
ganda terbalikkan dari pita chaos Setiawan, 1991.
2.1.2 Chaos dan Pengaruhnya Dalam Sains
