15
Karena kasus yang dibahas merupakan sistem triple pendulum yang memiliki tiga
pendulum maka ditinjau masing-masing posisi Spiegel,1967. Persaman gerak untuk
θ
1
adalah +
+ � +
+ � � � − � � +
� � � − � � +
+ � �� � − � +
� �� � − � + +
+ � �� � =
2.19 Sedangkan untuk
� : +
� � � − � � + +
� + � � � − � � −
+ � �� � − � +
� �� � − � + +
� �� � = 2.20
Lalu yang terakhir untuk � :
� � � − � � + � � � − � � + � −
� �� � − � −
� �� � − � + � �� � =
2.21 Persamaan 2.19, 2.20, dan 2.21 merupakan persamaan gerak sistem
triple pendulum nonlinier. Dimana
m
1
, m
2
, dan m
3
merupakan massa masing-masing pendulum1, pendulum2 dan pendulum3, dan
l
1
,l
2
dan l
3
merupakan panjang tali dari masing-masing pendulum, dan
�
1
, �
2
, dan �
3
adalah sudut yang dibentuk pendulum dengan garis vertikal serta
g merupakan konstanta gravitasi bumi. Sistem seperti ini banyak digunakan untuk mengetahui kejadian akan datang,
misalnya perkiraan cuaca, perkiraan gempa dan lain sebagainya.
2.5 Pemrograman dengan Mathematica 9
Mathematica merupakan perangkat lunak yang diproduksi dan dikembangkan oleh Wolfram Research, Inc. Pendiri perusahaan tersebut adalah Stephen
Wolfram, Ph.D. Beliau adalah fisikawan di bidang fisika teoritis dan berkebangsaan Inggris.
Mathematica dapat digunakan untuk aplikasi matematika, ilmu pengetahuan, biologi, teknologi, bisnis, dan aplikasinya.
Pada penelitian ini, program lebih banyak dibuat dengan menggunakan perintah-perintah berikut ini
1. Graphics: perintah untuk menampilkan grafik dua dimensi berdasarkan data
yang diberikan.
Universitas Sumatera Utara
16
Sintaks umumnya: Graphics[ primitives, options]
2. Manipulate: perintah untuk memanipulasi secara interaktif ekspresi-ekspresi
program, grafik dan objek lainnya. sintaks umumnya: Manipulate[
expr,{u,u
min
,u
max
}]. 3.
Module: perintah untuk membuat variabel local dengan nama tertentu yang dapat dipanggil.
Sintaks umumnya: Module[ {x,y,….}, expr]
4. NDSolve: perintah untuk menyelesaikan persamaan differensial karena tidak
semua penyelesaian persamaan differensial bisa diselesaikan secara analitik seperti dinamika
triple pendulum. Sintaks umumnya: NDSolve[
eqns, y, {x, xmin, xmax}] 5.
Parametric Plot: perintah untuk menampilkan x dan y koordinat f
x
dan f
y
yang fungsinya adalah parameter waktu t. Sintaks umumnya: ParameterPlot[
{f
x
, f
y
}, {t, t
min¸
t
max
}] Untuk informasi yang lebih mendetail tentang
Mathematica dapat melihatnya di situs resmi Wolfram www.wolfram.com
Universitas Sumatera Utara
1
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Berbagai gejala alam menampilkan tingkah laku yang rumit, tak dapat diprakirakan, dan tampak acak
random Misalnya, aliran turbulen yang terjadi pada gelombang lautan, perubahan musim, dan pembentukan mega. Karena tak
ada hubungan yang jelas antara sebab dan akibat, maka gejala-gejala semacam ini dikatakan memiliki elemen acak. Keacakan yang dihasilkan dengan cara seperti
itulah yang dikatakan sebagai chaos. Akan tetapi, menurut teori chaos, apabila
keacakan tersebut kita perhatikan dalam waktu yang cukup lama dengan mempertimbangkan dimensi waktu, maka akan ditemukan keteraturan dalam
keacakan tersebut. Dengan demikian, chaos memungkinkan ditemukannya
keteraturan dalam sistem-sistem yang tampaknya tidak beraturan, dan hal ini memiliki dampak besar pada banyak cabang ilmu pengetahuan.
Sebuah paradigm tentang chaos adalah bahwa chaos itu deterministik
tertentu dan dihasilkan oleh aturan-aturan tertentu yang tidak mengandung sesuatu yang bersifat kemungkinan. Deskripsi teoritik sering tidak mampu
mengungkap gejala chaos ini. Karakter tak linier persamaan matematika yang
muncul merupakan kesulitan utama. Sekalipun demikian, pada tahun-tahun terakhir ini banyak kemajuan yang telah dicapai, yakni dengan menggunakan
penggunakan simulasi dan analitis yang unik. Seiring dengan adanya kemajuan teknologi, maka permasalahan ini dapat diselesaikan dengan penggunaan
komputer digital. Grafik komputer dengan resolusi tinggi memungkinkan para peneliti untuk menyelidiki gejala
chaos yang terbentuk dari pola keluaran suatu sistem yang disimulasi. Setiawan, 1991
Banyak hal-hal yang sudah dilakukan untuk membuktikan chaos seperti
Peneliti sebelumnya yang telah melakukan penelitian terhadap gejala chaos secara
kualitatif pada pendulum sederhana nonlinear yang teredam dan terkendali oleh Siti Utari Raya, 2010 dan pendulum ganda nonlinier oleh Eva Panggabean, 2011.
Universitas Sumatera Utara
2
Pada penelitian ini akan dikembangkan lebih lanjut yaitu penambahan satu pendulum dari penelitian sebelumnya.
Sistem triple pendulum merupakan salah satu model yang dapat
menjelaskan perilaku chaos. Dipergunakannya sistem ini merupakan salah satu
model yang dapat mendemonstrasikan perilaku chaos, dan secara matematis sama
dengan persoalan-persoalan yang melibatkan getaran. Pendulum mekanik yang tersusun atas tiga massa yang terikat oleh tiga buah tali yang dapat berayun bebas
sebagai respon terhadap gravitasi. Adapun perangkat lunak yang digunakan pada simulasi ada
Mathematica versi 9. Digunakannya
Mathematica versi 9 karena merupakan perangkat lunak untuk komputasi dengan kemampuan yang baik dalam perhitungan dan dapat
memberikan GUI Graphic User Interface sehingga lebih mudah digunakan
pengguna User Friendly. Dengan simulasi ini diharapkan mampu memberi
pemahaman yang jelas tentang perilaku chaos. Tam, 2008.
1.2. Rumusan Masalah
