32
Gambar 4.16 Grafik θ
1
vs θ
2
dengan m
1
= m
2
= m
3
=1, l
1
= l
2
= l
3
=1, g = 1, ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0 , θ
1
= Pi2, θ
2
= 5Pi12, dan θ
3
= 3Pi8
Gambar 4.17 Grafik θ
2
vs θ
3
dengan m
1
= m
2
= m
3
=1, l
1
= l
2
= l
3
=1, g = 1, ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0 , θ
1
= Pi2, θ
2
= 5Pi12, dan θ
3
= 3Pi8
4.2 Keadaan Kuasiperiodik
Keadaan ini adalah keadaan dimana suatu sistem dinamis mengalami penggandaan perioda. Keadaan ini merupakan jalan ke arah terjadinya
chaos, dimana
chaos itu sendiri terjadi bila suatu sistem mengalami penggandaan perioda beberapa kali. Pada penelitian ini, keadaan kuasiperiodik dengan
m
1
= m
2
= m
3
= l
1
= l
2
= l
3
= g = 1, ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0 , θ
1
= Pi2, tercapai ketika nilai θ
2
atau nilai θ
3
digeser dari sudut periodik dengan range waktu sekitar 1s - 15s. Sebagai contoh diambil sudut
θ
2
= 5Pi12 dan nilai θ
3
= 3Pi7. Hal ini ditunjukkan pada gambar 4.18 sampai 4.33
Gambar 4.18 Ruang fasa pada m
1
dengan m
1
= m
2
= m
3
=1, l
1
= l
2
= l
3
=1, g = 1,
ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0 , θ
1
= Pi2, θ
2
= 5Pi12, dan θ
3
= 3Pi7 pada saat range waktu 1s - 15s.
1
vs.
1
Universitas Sumatera Utara
33
Pada gambar 4.18, 4.19 dan 4.20 menunjukkan koordinat posisi –kecepatan sudut.
Dalam keadaan terlihat bahwa lintasam tidak bergerak lagi dengan lintasan tertutup. Lintasan pada keadaan transien tertartik ke satu titik ruang fasa, tetapi
karena amplitudo pendulum yang cukup besar maka energi diserap oleh pendulum pun cukup besar. Energi ini mengantisipasi redaman juga menyebabkan
perubahan drastis dari pendulum, hal ini menyebabkan pecahnya orbit awal sehingga lintasan bergerak dengan dua periode yang berbeda atau menggalami
penggandaan periode.
Gambar 4.19 Ruang fasa pada m
2
dengan m
1
= m
2
= m
3
=1, l
1
= l
2
= l
3
=1, g = 1,
ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0 , θ
1
= Pi2, θ
2
= 5Pi12, dan θ
3
= 3Pi7 pada saat range waktu 1s - 15s.
Gambar 4.20 Ruang fasa pada m
2
dengan m
1
= m
2
= m
3
=1, l
1
= l
2
= l
3
=1, g = 1,
ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0 , θ
1
= Pi2, θ
2
= 5Pi12, dan θ
3
= 3Pi7 pada saat range waktu 1s - 15s.
2
vs.
2
3
vs.
3
Universitas Sumatera Utara
34
Gambar 4.21 Grafik Sensitivitas kondisi awal θt vs t dengan m
1
= m
2
= m
3
=1, l
1
= l
2
= l
3
=1, g = 1, ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0 , θ
1
= Pi2, θ
2
= 5Pi12, dan θ
3
= 3Pi7 pada range waktu 1s-35s.
Gambar 4.22 Grafik Sensitivitas kondisi awal θt vs t dengan m
1
= m
2
= m
3
=1, l
1
= l
2
= l
3
=1, g = 1, ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0 , θ
1
= 7Pi1 2, θ
2
= 5Pi12, dan θ
3
= 3Pi7 pada range waktu 1s-35s.
Hasil yang ditunjukkan pada gambar 4.21 memperlihatkan bahwa pendulum bergerak berlawanan arah awal pendulum dan mulai mengalami
gerakan yang tidak harmonik lagi. Pada grafik juga terlihat bahwa lintasan tetap mengalami pengulangan tetapi butuh waktu yang lebih lama untuk melihat
pengulangan tersebut, sehingga tampak lebih kompleks. Hal ini dikatakan sebagai penggandaan periode, namun sistem ini masih bersifat periodik.
Jika keadaan awal diubah sedikit yaitu θ
1
= menjadi 7Pi12, maka perbandingan plot posisi sudutn vs waktu menunjuukkan bahwa kedua lintasan
masih berjalan selaras, artinya sistem pada kondisi ini juga belum menunjukkan karakteristik kesensitifan terhadap kondisi awal yang ditunjukkan pada gamabr
4.22. Berikut ini juga ditampilkan simpangan pada keadaan kuasiperiodik ini, yang dapat dilihat pada gambar 4.23, 4.24, 4.25, 4.26, 4.27, 4.28, 4.29, dan 4.30.
t vs t
t vs t
Universitas Sumatera Utara
35
Gambar 4.23 Grafik xt vs t dengan m
1
= m
2
= m
3
=1, l
1
= l
2
= l
3
=1, g = 1, ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0 , θ
1
= Pi2, θ
2
= 5Pi12, dan θ
3
= 3Pi7 pada range waktu 1s-35s Pendulum1 dan pendulum2
Gambar 4.24 Grafik xt vs t dengan m
1
= m
2
= m
3
=1, l
1
= l
2
= l
3
=1, g = 1, ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0 , θ
1
= Pi2, θ
2
= 5Pi12, dan θ
3
= 3Pi7 pada range waktu 1s-35s Pendulum2 dan pendulum3
Gambar 4.25 Grafik yt vs t dengan m
1
= m
2
= m
3
=1, l
1
= l
2
= l
3
=1, g = 1, ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0 , θ
1
= Pi2, θ
2
= 5Pi12, dan θ
3
= 3Pi7 pada range waktu 1s-35s Pendulum1 dan pendulum2
Gambar 4.26 Grafik yt vs t dengan m
1
= m
2
= m
3
=1, l
1
= l
2
= l
3
=1, g = 1, ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0 , θ
1
= Pi2, θ
2
= 5Pi12, dan θ
3
= 3Pi7 pada range waktu 1s-35s Pendulum2 dan pendulum3
x t vs t
x t vs t
y t vs t
y t vs t
Universitas Sumatera Utara
36
Gambar 4.27 Grafik x
2
vs y
2
dengan m
1
= m
2
= m
3
=1, l
1
= l
2
= l
3
=1, g = 1, ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0 , θ
1
= Pi2, θ
2
= 5Pi12, dan θ
3
= 3Pi7 pada range waktu 1s-35s
Gambar 4.28 Grafik x
3
vs y
3
dengan m
1
= m
2
= m
3
=1, l
1
= l
2
= l
3
=1, g = 1, ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0 , θ
1
= Pi2, θ
2
= 5Pi12, dan θ
3
= 3Pi7 pada range waktu 1s-35s
Gambar 4.29 Grafik θ
1
vs θ
2
dengan m
1
= m
2
= m
3
= l
1
= l
2
= l
3
= g = 1, ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0 , θ
1
= Pi2, θ
2
= 5Pi12, dan θ
3
= 3Pi7 pada range waktu 1s-35s
Gambar 4.30 Grafik θ
1
vs θ
2
dengan m
1
= m
2
= m
3
=1, l
1
= l
2
= l
3
=1, g = 1, ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0 , θ
1
= Pi2, θ
2
= 5Pi12, dan θ
3
= 3Pi7 pada range waktu 1s-35s
x
2
vs. y
2
x
3
vs. y
3
Universitas Sumatera Utara
37
4.3 Keadaan Chaos
